e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задачТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задачГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задачЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач Элементы математического анализа

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве (основные определения)
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса
наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач Примеры решения задач

наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве
(основные определения)

      Пусть   X   – некоторое множество, входящее в область определения   D ( f )   функции   y = f (x).

      Определение 1. Значение   f (x0)   функции   y = f (x)   в точкенаибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множественазывают наибольшим значением функции   f (x)   на множестве   X,   если для любой точки наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве выполнено неравенство

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

      Наибольшее значение функции   f (x)   на множестве   X   часто обозначают

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве или наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

      Определение 2. Значение   f (x0)   функции   y = f (x)   в точкенаибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множественазывают наименьшим значением функции   f (x)   на множестве   X,   если для любой точки наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве выполнено неравенство

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

      Наименьшее значение функции   f (x)   на множестве   X   часто обозначают

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве или наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

      Определение 3. Наибольшее значение функции на множестве   X   часто называют максимальным значением функции   f (x)   на множестве   X   или максимумом функции   f (x)   на множестве   X .   Наименьшее значение функции на множестве   X   часто называют минимальным значением функции   f (x)   на множестве   X   или минимумом функции   f (x)   на множестве   X .

      Пример 1. Минимальным значением функции   y = x2   на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множествеявляется число   0   (рис. 1).

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

Рис.1

      Максимального значения функция   y = x2   на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множествене имеет.

      Пример 2. Максимальным значением функции   y = – x2   на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множествеявляется число   0   (рис. 2).

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

Рис.2

      Минимального значения функция   y = – x2   на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множествене имеет.

      Пример 3. Функция   y = x   на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множествене имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 3).

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

Рис.3

      Пример 4. Функция   y = arctg x   на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множествене имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 4).

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве

Рис.4

Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса

      Как мы видели в примерах 1 - 4, даже такие хорошо известные функции, как

  y = x2,   y = – x2,   y = x,   y = arctg x  

не имеют наибольших или наименьших значений на множестве наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве. Однако, если бы в качестве множества   X   мы взяли произвольный отрезок, то ситуация стала бы принципиально иной, что вытекает из следующей теоремы.

      Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

      Доказательство теоремы Вейерштрасса выходит за рамки школьного курса математики и здесь не приводится.

      Следствие. Пусть   x1 , x2 , ... , xn   – критические точки функции   y = f (x)   на отрезке   [a, b] .   Тогда наибольшее и наименьшее значения функции   y = f (x)   на отрезке   [a, b]   равны наибольшему и наименьшему из чисел

f (a) ,   f (b) ,   f (x1) ,   f (x2) ,   ...   ,   f (xn)

соответственно.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 2x3 + 3x2 – 36x + 30 (1)

на отрезке   [–2, 4] .

      Решение. Найдем критические точки функции (1). Для этого вычислим производную функции (1):

y' = 6x2 + 6x – 36 = 6 (x2 + x – 6) = 6 (x + 3) (x – 2) (2)

      Из формулы (2) получаем, что критическими точками функции (1) являются точки   x = – 3 ,   x = 2,   причем только точка   x = 2   принадлежитна отрезку   [–2, 4] . Вычисляя значения функции (1) в критической точке   x = 2,   а также на концах отрезка   x = – 2   и   x = 4 ,   получим:

y (2) = – 14 ,
y (– 2) = 98 ,
y (4) = 62 .    

      Ответ. Наибольшее значение функции (1) на отрезке   [–2, 4]   равно   98 ,   а наменьшее значение функции (1) на отрезке   [–2, 4]   равно   – 14 .

      Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач (3)

на отрезке   [–1, 27] .

      Решение. Найдем критические точки функции (3). Для этого вычислим производную функции (3):

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач (4)

      Решая уравнение   y' = 0 ,   получим

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач

      Заметим также, что производная (4) функции (3) не существует в точке   x = 0 .   Следовательно, у функции (3) есть три критические точки:   x = 0, наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач и наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач, причем все эти точки лежат на отрезке   [–1, 27] .   Вычисляя значения функции (3) в критических точках   x = 0, наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач и наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач, а также на концах отрезка   x = – 1   и   x = 27 ,   получим:

y (0) = 0 ,      
наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач    
наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач    
y (– 1) = – 1 ,
y (27) = 99 .  

      Ответ. Наибольшее значение функции (3) на отрезке   [–1, 27]   равно   99 ,   а наменьшее значение функции (3) на отрезке   [–1, 27]   равно   – 1 .

      Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = (x – 4) e | x | (5)

на отрезке   [–1, 6] .

      Решение. Для того, чтобы найти критические точки функции (5), перепишем правую часть формулы (5), используя определение модуля:

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач

      Следовательно,

наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на отрезке примеры решения задач

      В точке   x = 0   производная функции (5) не существует. Критическими точками являются точки

x = 0,   x = 3,   x = 5.

      Все критические точки принадлежат отрезку   [–1, 6] .   Вычисляя значения функции (5) в критических точках   x = 0,   x = 3,   x = 5,   а также на концах отрезка   x = – 1   и   x = 6 ,   получим:

y (0) = – 4 ,    
y (3) = – e 3,   
y (5) = e 5,       
y (– 1) = – 5e ,
y (6) = 2e 6.      

      Ответ. Наибольшее значение функции (5) на отрезке   [–1, 6]   равно   2e 6,   а наменьшее значение функции (5) на отрезке   [–1, 6]   равно   e 3.

      Задача 4. Найти наибольшее значение функции

y = (x – 27) e 28 – x (6)

на отрезке   [23, 40] .

      Решение. Найдем критические точки функции (6). Для этого вычислим производную функции (6):

y' = e 28 – x – (x – 27) e 28 – x = (28 – x) e 28 – x (7)

      Решая уравнение   y' = 0 ,   получаем, что функция (6) имеет единственную критическую точку
  x = 28 ,   причем эта точка лежит на отрезке   [23, 40] .   При переходе через точку   x = 28   производная функции (7) меняет знак с   «+»   на   «–» ,   откуда вытекает, что точка   x = 28  является точкой максимума функции (6) на множестве  наибольшее значение функции на множестве наименьшее значение функции на множестве. Следовательно, точка   x = 28  является точкой максимума функции (6) и на отрезке   [23, 40] .   Найдем значение функции (6) в точке   x = 28:

y (28) = 1 .

      Ответ. Наибольшее значение функции (6) на отрезке   [23, 40]   равно   1.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке минимальное значение функции максимальное значение функции теорема Вейерштрасса примеры решения задач индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования