e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ОГЭ (ГИА) по математике осталось
днейчасовминутсекунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математикеУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеЭлектронный справочник по математике для школьников алгебра треугольник ПаскаляАлгебраЭлектронный справочник по математике для школьников алгебра треугольник ПаскаляФормулы сокращенного умножения

Треугольник Паскаля

      Для того, чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем Таблицу 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности» в следующем виде (Таблица П.):

      Таблица П. – Натуральные степени бинома   x + y

СтепеньРазложение в сумму одночленов
0(x + y)0 =1
1(x + y)1 =1x + 1y
2(x + y)2 =1x2 + 2xy + 1y2
3(x + y)3 =1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
4(x + y)4 =1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
5(x + y)5 =1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
6(x + y)6 =1x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6

      Теперь, воспользовавшись третьим столбцом Таблицы П., составим следующую Таблицу - Треугольник Паскаля:

      Таблица - Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля
01
11     1
21     2     1
31     3     3     1
41     4     6     4     1
51     5     10     10     5     1
61     6     15     20     15     6     1

      На всякий случай напомним, что Блез Паскаль – это знаменитый физик и математик, живший во Франции более трех веков назад.

      В треугольнике Паскаля каждая строка соответствует строке с тем же номером в Таблице П. Однако в каждой строке треугольника Паскаля, в отличие от Таблицы П., записаны только коэффициенты разложения в сумму одночленов соответствующей степени бинома   x + y .

      Заполнив сначала строки треугольника Паскаля с номерами   0   и   1,   рассмотрим строки  с номерами   2   и далее.

      Основным свойством треугольника Паскаля, позволяющим последовательно, начиная со строки с номером   2,   заполнять его строки, является следующее свойство:

      Каждая из строк, начиная со строки с номером   2,   во-первых, начинается и заканчивается числом   1,   а, во-вторых, между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Действительно, число   2,   стоящее в строке с номером два, равно сумме чисел   1   плюс   1,   стоящих в первой строке. Точно так же, числа   3   и   3,   стоящие в строке с номером три, равны соответственно сумме чисел   1   плюс   2   и сумме чисел   2   плюс   1,   стоящих во второй строке.

      Также и для других строк.

      Таким образом, свойство треугольника Паскаля позволяет, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома   x + y .

      Пример. Написать разложение вида:

(x + y)7 .

      Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером   6   и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером   7:  

61     6     15     20     15     6     1
71     7     21     35     35     21     7     1

      Следовательно,

(x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y2 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников алгебра треугольник Паскаляподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников алгебра треугольник Паскаляиндивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования