Mосква, Северо-восток

Средние значения

      Обозначим буквой   p   произвольное действительное число и рассмотрим произвольный набор из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

( n   – натуральное число).

      ОпределениеСредним значением степени   p   для набора чисел

x1 ,  x2 , … , xn

называют величину, определяемую формулой

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы
(1)

      В случае, когда   p = 1 ,   среднее значение степени 1 имеет вид

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

и называется средним арифметическим   n   чисел.

      Таким образом, среднее арифметическое   n   чисел равно сумме этих чисел, деленной на   n .

      В случае, когда   p = 2 ,   среднее значение степени 2 имеет вид

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

и называется средним квадратичным (средним квадратическим)   n   чисел.

      Другими словами, среднее квадратичное   n   чисел равно квадратному корню из среднего арифметического квадратов этих чисел.

      В случае, когда   p = – 1,   среднее значение степени (– 1) имеет вид

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

и называется средним гармоническим   n   чисел.

      Итак, среднее гармоническое   n   чисел равно обратной величине от среднего арифметического обратных величин этих чисел.

      Поскольку на нуль делить нельзя, то и использовать формулу (1) для определения среднего значения степени 0 нельзя. Однако среднее значение степени 0 можно получить, если в формуле (1) осуществить предельный переход при Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы. Не останавливаясь на доказательстве корректности такого предельного перехода, приведем только окончательный результат.

      Утверждение. При   p = 0   среднее значение степени 0 вычисляется по формуле:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

      Определение. Среднее значение степени 0 называется средним геометрическим (средним пропорциональным)   n   чисел.

      В соответствии с приведенной выше формулой среднее геометрическое   n   чисел равно корню   n – ой степени из произведения этих чисел.

      Если в формуле (1) совершить предельный переход при Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы, то мы получим среднее значение степени Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы, причем

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

      Другими словами, среднее значение степени Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы из   n   чисел равно наибольшему из этих чисел.

      Если же в формуле (1) совершить предельный переход при Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы, то мы получим среднее значение степени Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы, причем

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

      Таким образом, среднее значение степени Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы из   n   чисел равно наименьшему из этих чисел.

      Для удобства сформируем Таблицу из определений средних значений:

      Таблица – Средние значения

ОбозначениеФормула Название
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыmin ( x1 ,  x2 , … , xn )Минимум
M– 1Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее гармоническое
M0Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее геометрическое
M1Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее арифметическое
M2Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыСреднее квадратичное
Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыmax ( x1 ,  x2 , … , xn )Максимум
Минимум

Обозначение:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Формула:

min ( x1 ,  x2 , … , xn )

Среднее гармоническое

Обозначение:

M– 1

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее геометрическое

Обозначение:

M0

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее арифметическое

Обозначение:

M1

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Среднее квадратичное

Обозначение:

M2

Формула:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Максимум

Обозначение:

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы

Формула:

max ( x1 ,  x2 , … , xn )

      Неравенства между средними значениями для одного и того же набора чисел приведены в разделе «Неравенства между средними значениями» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулы подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Средние значения среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее пропорциональное среднее квадратическое определения и формулыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика