e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы
с математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеНеравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомАлгебраНеравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомСредние значения

Неравенства между средними значениями

Справочник по математике для школьников алгебра Неравенства между средними значениямиНеравенства между средними значениями
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическомНеравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическомНеравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
Справочник по математике для школьников алгебра неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическомНеравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенства между средними значениями

      Для удобства приведем Таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

      Таблица – Средние значения

ОбозначениеФормулаНазвание
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомmin ( x1 ,  x2 , … , xn )Минимум
M– 1Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомСреднее гармоническое
M0Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомСреднее геометрическое
M1Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомСреднее арифметическое
M2Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомСреднее квадратичное
Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомmax ( x1 ,  x2 , … , xn )Максимум

      Утверждение 1. Пусть   p1   и   p2   – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству   p1< p2 .   Тогда для произвольного набора из   n   положительных действительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедливо неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом,

причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа

x1 ,  x2 , … , xn

равны.

      Замечание. Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом, и в случае, когдаНеравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом.

      Следствие 1. Для произвольного набора из   n   положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедливы следующие неравенства между его средними значениями:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Следствие 2. Для произвольного набора из   n   положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

любые два из его средних значений

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

равны между собой тогда и только тогда, когда все числа

x1 ,  x2 , … , xn

равны.

      Итак, для   n   произвольных положительных чисел

x1 ,  x2 , … , xn

справедлива следующая цепочка неравенств:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

      Неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

утверждающее, что среднее геометрическое   n   положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши.

      В случае, когда   n = 2 ,   неравенство Коши имеет вид

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

что и требовалось.

     Из неравенства Коши с   n = 2 ,   взяв

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

нетрудно получить очень полезное следствие.

      Следствие. Для произвольного положительного числа   x   выполнено неравенство

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом

      В случае   n   переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      В случае, когда   n = 2 ,   это неравенство имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.

Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом

      В случае   n   переменных неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      В случае, когда   n = 2 ,   это неравенство имеет вид:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

      Докажем это неравенство:

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическом

что и требовалось.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическомподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Неравенства между средними значениями неравенство Коши неравенство о средним гармоческом и средним геометрическом неравенство о среднем квадратичном и средним арифметическоминдивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку
    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования