Справочник по математикеАлгебра Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

Возвратные (симметричные) уравнения

Содержание

	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a, b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Таким образом,

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax² + (b – a) x + a = 0.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Таким образом,

ОТВЕТ:.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

где a, b, c – заданные числа.

Метод решения возвратного уравнения (3).

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(5)

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

(6)

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Метод решения возвратного уравнения (4).

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(9)

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

(10)

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x². В результате получится уравнение

(14)

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

(15)

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

Решим уравнение (17):

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x². В результате получится уравнение

(20)

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

(21)

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

Решим уравнение (23):

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

ОТВЕТ:

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

(25)

где  a, b, c, d  – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(26)

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

(27)

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

a = 2 ,  b = – 15,   c = 35,   d = – 30,

и найдем значение выражения

Поскольку

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x². В результате получится уравнение

(31)

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

(31)

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

Решим уравнение (34):

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

ОТВЕТ:

Близкие по тематике разделы сайта

Со способами решения других типов уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника и наших учебных пособиях:

• решение уравнений с модулями
  • «Простейшее уравнение с модулем»
  • «Уравнения и неравенства с модулями»
• решение линейных уравнений
  • «Линейные уравнения и неравенства»
• решение квадратных уравнений
  • «Квадратные уравнения»
• решение рациональных и иррациональных уравнений
  • «Решение алгебраических уравнений»
• решение трехчленных уравнений и уравнений вида (ax+b)(ax+b+c)(ax+b+2c)(ax+b+3c)= d
  • «Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: возвратные (симметричные) уравнения»
• решение кубических уравнений
  • «Решение кубических уравнений. Формула Кардано»
• решение уравнений четвертой степени
  • «Решение уравнений четвертой степени. Метод Феррари»
• решение показательных уравнений
  • «Решение показательных уравнений»
• решение логарифмических уравнений
  • «Решение логарифмических уравнений»
• решение тригонометрических уравнений
  • «Простейшие тригонометрические уравнения»
  • «Решение тригонометрических уравнений»
  • «Тригонометрия в ЕГЭ по математике»