Справочник по математикепрямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостиГеометрия (Стереометрия)прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости Прямые и плоскости в пространстве

 

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Содержание

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскости Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскости Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости
 

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала следующий случай.

Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  произвольную точку  B  (рис. 1).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.1

Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам треугольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что треугольник  PBС  равен треугольнику   P'BС   (BP = BP'Признак перпендикулярности прямой и плоскости, сторона     - общая). Следовательно,

СP = СP',

откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.

Таким образом, прямые   PO   и   c   перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

Теперь перейдем к общему случаю.

Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,   перпендикулярна к прямым   a   и   b,   лежащим на плоскости   α .  Докажем, что в этом случае прямая   p   перпендикулярна любой другой прямой   c,   лежащей плоскости   α   (рис. 2).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.2

С этой целью проведем через точку O прямые   a',   b'   и   c'   соответственно параллельные прямым   a,   b   и   c  .

По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым   a'   и   b',   проходящим через точку   O,   и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

ЗАМЕЧАНИЕ. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

Так, например, на рисунке 1 точка   O   является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости и признака перпендикулярности плоскостей, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

Свойство перпендикуляра к плоскости

свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство

Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость

Определение расстояния от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости

Определение

Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.

Свойство двух перпендикуляров к плоскости

свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство

Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны

Свойство двух плоскостей, перпендикулярных к одной прямой

свойства плоскостей перпендикулярных к прямой

Свойство

Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

Признак перпендикулярности двух плоскостей

признак перпендикулярности плоскостей

Признак

Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны

Свойство перпендикуляра к плоскости

свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство

Если плоскости   α   и   β   перпендикулярны, а точка   P   лежит на плоскости   β,   то и перпендикуляр   PO,   опущенный из точки   P   на плоскость   α ,   также лежит в плоскости   β.

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика