Mосква, Северо-восток

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми

      Теорема. Пусть   p1   и   p2   – две произвольные скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые. Если рассмотреть всевозможные прямые   A1A2,   такие, что точка   A1   лежит на прямой   p1,   а точка   A2   лежит на прямой   p2,   то будут выполнены следующие два утверждения:

  1. Среди всех прямых   A1A2   существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой   p1   и к прямой   p2   (общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).
  2. Среди всех отрезков   A1A2   наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

      Доказательство. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

      Через произвольную точку прямой   p1   проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой параллельную прямой   p2 ,   а через произвольную точку прямой   p2   проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой параллельную прямой   p1 .   Обозначим буквой   α   плоскость, проходящую через прямые   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, а буквой   β   плоскость, проходящую через прямые   p2   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми(рис 1).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.1

      Поскольку прямая   p1   параллельна прямой Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащей на плоскости   β ,   то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая   p1   параллельна плоскости   β.   Точно так же, поскольку прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми параллельна прямой   p2 ,   лежащей на плоскости   β ,   то прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости   β.   Таким образом, плоскость   α   содержит две пересекающиеся прямые   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, паралельные плоскости   β.   В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости   α   и   β   параллельны.

      Спроектируем прямую p1 на плоскость   β.   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой проекцией прямой   p1,   и обозначим точку пересечения прямых   p2   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой   B2   (рис. 2).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.2

      Спроектируем теперь прямую   p2   на плоскость   α .   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой проекцией прямой   p2 ,   и обозначим точку пересечения прямых   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой   B1   (рис. 3).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.3

      Поскольку точка   B2   является проекцией точки   B1 ,   то прямая   B1B2   перпендикулярна каждой из плоскостей   α   и   β .   Следовательно, прямая   B1B2   перпендикулярна и к каждой из прямых   p1   и   p2 .   Таким образом,   B1B2   – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым   p1   и   p2 .

      Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.

      Докажем, что построенная прямая   B1B2   является единственным общим перпендикуляром к прямым   p1   и   p2 .

      Заметим, что любая прямая, перпендикулярная к   p1   и к   p2 ,   по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна к построенным выше плоскостям   α   и   β   (рис. 3). Кроме того, общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   должен проходить через точку, лежащую на прямой   p1 ,   а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости   γ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β перпендикуляр должен лежать в плоскости   γ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β,   и проходящей через прямую   p1 .

      С другой стороны общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   должен проходить через точку, лежащую на прямой   p2 ,   а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости   δ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β перпендикуляр должен лежать в плоскости   δ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β,   и проходящей через прямую   p2 .

      Таким образом, общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   является линией пересечения плоскостей   γ   и   δ,   то есть прямой   B1B2 .

      Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.

      Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок   A1A2 , у которого конец   A1   лежит на плоскости   α , а конец   A2   лежит на плоскости   β . Опустим перпендикуляр из точки   A1   на плоскость   β   и обозначим основание этого перпендикуляра символом   A3   (рис. 4).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.4

      Если отрезок   A1A2   не является перпендикуляром к плоскостям   α   и   β,   то точка   A3   не совпадет с точкой   A2,   и треугольник   A1A2A3   будет прямоугольным треугольником с гипотенузой   A1A2   и катетом   A1A3.   Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то

A1A3 < A1A2 .

      Поскольку длина отрезка   A1A3 , как и длина отрезка   B1B2 ,   равна расстоянию между параллельными плоскостями расстоянию между параллельными плоскостями α и β , то утверждение 2 доказано.

      Замечание. Длину отрезка   B1B2,   лежащего на общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым, и называют расстоянием между скрещивающимися прямыми расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямымиподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямымииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика