Mосква, Северо-восток

Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конусаКонусы
конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конусаУсеченные конусы
Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса объем усеченного конуса площпдь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхностей усеченного конусаОбъем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конуса

Конусы

      Рассмотрим произвольную плоскость α, точку   S,   не лежащую на плоскости α,   и перпендикуляр   SO,   опущенный из точки   S   на плоскость   α   (точка   O   – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α.

      Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку   S   с точками указанного круга с центром в точке   O,   лежащего на плоскости   α   (рис. 1).

конус
конус
конус

Рис.1

      Определение 2.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Точку   S   называют вершиной конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Отрезок   SO   называют осью конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Расстояние от точки   S   до плоскостиРасстояние от точки   S   до плоскости   α   (длину отрезка   SO)   называют высотой конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α,   называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость   α   называют плоскостью основания конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Отрезки, соединяющие точку   S   с точками окружности называют образующими конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

      Замечание 1. Отрезок   SO   часто называют высотой конуса.

      Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой   h   и радиусом основания   r   длина образующих равна

конус образующая конуса радиус основания высота

Усеченные конусы

      Рассмотрим конус с вершиной   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Плоскость   β,   параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии   h1   от вершины расстоянии   h1   от вершины   S,   пересекает конус по кругу радиуса   r1   с центром в точке   O1   (рис. 2).

усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса
усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса
усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса

Рис.2

      Из подобия прямоугольных треугольников   SOA   и   SO1A1   можно выразить радиус   r1   через известные величины   r, h   и   h1:

усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса

      Таким образом, плоскость   β   делит конус на две части: конус с осью   SO1   и радиусом основания   r1,   а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса
усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса
усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса

Рис.3

      Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке   O   радиуса   r   на плоскости   α   и кругом с центром в точке   O1 радиуса   r1   на плоскости   β,   а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями   α   и   β.   Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями   α   и   β,   называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок   AA1.

      Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна   h – h1.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

ФигураРисунокФормулы для объема, площади боковой и полной поверхности
КонусОбъем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

Sосн = πr2,

Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

Sбок= πrl,

Sполн = πr2 + πrl,

где
rрадиус основания конуса,
l  – длина образующей конуса,
hвысота конуса.

Усеченный конусОбъем усеченного конуса площадь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхности усеченного конуса

площадь оснований усеченного конуса

объем усеченного конуса

объем усеченного конуса

Sбок= π (r + r1)l ,

площадь полной поверхности усеченного конуса

площадь полной поверхности усеченного конуса

где
hвысота усеченного конуса,
rрадиус нижнего основания усеченного конуса,
r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,

l – длина образующей усеченного конуса.

Конус
Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса
Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Sосн = πr2,

Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

Sбок= πrl,

Sполн = πr2 + πrl,

где
rрадиус основания конуса,
l – длина образующей конуса,
hвысота конуса.

Усеченный конус
Объем усеченного конуса площадь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхности усеченного конуса
Объем усеченного конуса площадь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхности усеченного конуса

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

площадь оснований усеченного конуса
площадь оснований усеченного конуса

объем усеченного конуса,

объем усеченного конуса

объем усеченного конуса

объем усеченного конуса

Sбок= π (r + r1)l ,

площадь полной поверхности усеченного конуса

площадь полной поверхности усеченного конуса

площадь полной поверхности усеченного конуса

где
hвысота усеченного конуса,
rрадиус нижнего основания усеченного конуса,
r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,

l – длина образующей усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

объем правильной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

объем усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

объем усеченной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конусаподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конусаиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика