Пирамида, вписанная в конус

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конусПирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус
отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамидыОтношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус

      Определение 1. Пирамидой, вписанной в конус, называют такую пирамиду, у которой основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 1).

      Определение 2. Если пирамида вписана в конус, то конус называют описанным около пирамиды.

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус

Рис.1

      Замечание. Если пирамида вписана в конус, ее боковые ребра равны и являются образующими конуса, вершина пирамиды лежит на оси конуса, а высота пирамиды равна высоте конуса.

      Теорема 1. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность;
  2. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды, является центр описанной около основания пирамиды окружности.

      Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, вписанной в конус, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, описанного около пирамиды.

      Теперь рассмотрим пирамиду   SA1A2 ... An ,   для которой выполнены условия 1 и 2 теоремы, и докажем, что около нее можно описать конус.

      Пусть   O   – центр круга, окружность которого описана около основания   A1A2 ... An пирамиды. Поскольку отрезок   SO   перпендикулярен плоскости основания пирамиды, то, соединив все точки этого круга с вершиной пирамиды   S , мы получим конус с осью   OS,   описанный около пирамиды   SA1A2 ... An   (рис. 2).

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус

Рис.2

      Теорема доказана.

      Поскольку около любого правильного многоугольника можно описать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

      Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать конус.

      Теорема 2. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны.

      Доказательство. Действительно, если пирамида вписана в конус, то ее боковые ребра являюся образующими конуса, и, значит, равны между собой.

      Рассмотрим теперь пирамиду   SA1A2 ... An   высоты   h ,   у которой все боковые ребра

SA1 = SA2 = ... = SAn = l ,

и докажем, что около ее основания можно описать окружность. Пусть точка   O   – основание перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость основания пирамиды (рис. 3).

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус

Рис.3

      Все прямоугольные треугольники   SOA1 ,   SOA2 , ... ,   SOAn   равны, поскольку у них равны гипотенузы SA1 ,   SA2 , ... ,   SAn ,   а катет   SO   является общим. Следовательно,

OA1 = OA2 = ... = OAn .

      Отсюда вытекает, что многоугольник   A1A2 ... An   вписан в окружность с центром в точке   O .   Радиус этой окружности можно найти по теореме Пифагора

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус.

      По теореме 1 около такой пирамиды можно описать конус.

      Доказательство теоремы 2 завершено.

Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной
n - угольной пирамиды

      Задача. Найти отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды.

      Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды,

а высота конуса равна высоте описанной около него пирамиды , то для объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды справедливо равенство

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды
отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

      Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   R   описанной около этого многоугольника окружности по формуле

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды
отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

то справедливо равенство

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды
отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

      Ответ.отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

      Следствие 2. Отношение объема правильной треугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной треугольной пирамиды и описанного около нее конуса

      Следствие 3. Отношение объема правильного тетраэдра к объему конуса, описанного около данного тетраэдра, равно

отношение объемов правильного тетраэдра и описанного около него конуса

      Следствие 4. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной четырехугольной пирамиды и описанного около нее конуса

      Следствие 5. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной шестиугольной пирамиды и описанного около нее конуса

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика