Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Вписанные и описанные фигуры

Цилиндры, вписанные в призмы

Содержание

	Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
	Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы

Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Цилиндром, вписанным в призму, называют такой цилиндр, окружности оснований которого вписаны в многоугольники, являющиеся основаниями призмы, а плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра (рис. 1).

Рис.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.

Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелен и равен боковому ребру призмы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим призму   A₁A₂ ... A_nA'₁A'₂ ... A'_n,   у которой в основания   A₁A₂ ... A_n   и   A'₁A'₂ ... A'_n   можно вписать окружности. Пусть в нижнее основание   A₁A₂ ... A_n   призмы   A₁A₂ ... A_nA'₁A'₂ ... A'_n   вписана окружность с центром   O   радиуса   r,   которая касается прямой   A₁A₂   в точке   K .   Проведем через точку   O   прямую, параллельную боковому ребру   A₁A'₁   призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в точке   O'   (рис. 2).

Рис.2

Вследствие признака параллельности прямой и плоскости плоскость   KOO'  параллельна боковому ребру   A₁A'₁ ,   а ее линия пересечения   KK'   с боковой гранью призмы   A₁A₂A'₁A'₂   будет параллельна отрезку   OO'.   Замечая, что отрезки   OK   и   O'K'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, заключаем, что четырехугольник   OO'K'K   – параллелограмм.

Поскольку   OK  – это радиус окружности, проведенный в точку касания окружности радиуса   r   с центром   O   и прямой A₁A₂ ,   то   OK = r   и угол   OKA₁   равен 90°. Значит, и   O'K' = r   и угол   O'K'A'₁   равен 90°, то есть точка   O'   удалена от прямой   A'₁A'₂   на расстояние   r.

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка   O'  равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания   A'₁A'₂,   A'₂A'₃,   ... ,   A_{n – 1}A_n,   а поскольку  O'   лежит в плоскости верхнего основания, то точка   O'   является центром вписанной в многоугольник   A'₁A'₂ ... A'_n   окружности.

В силу того, что прямые   OO'   и   A₁A'₁   параллельны по построению, а прямые OA₁   и   O'A'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник   OO'A₁A'₁   является параллелограммом, откуда вытекает равенство:   OO' = A₁A'₁.

Утверждение 1 доказано.

ТЕОРЕМА. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. В основания призмы можно вписать окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала, что если в   n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.

С этой целью рассмотрим ось цилиндра   OO' ,   соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).

Рис.3

Согласно утверждению 1 отрезок   OO'   параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра   OO'   перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.

Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты   h,   в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.

Обозначим буквой   O   центр окружности радиуса   r,   вписанной в нижнее основание призмы, а символом   O'   обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).

Рис.4

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'   параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   OO'   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

Цилиндр с осью   OO',   радиусом   r   и высотой   h   и будет вписан в исходную призму.

Доказательство теоремы завершено.

СЛЕДСТВИЕ 1. Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.

СЛЕДСТВИЕ 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.

Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.

СЛЕДСТВИЕ 3. В любую правильную  n – угольную призму можно вписать цилиндр.

Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный  n – угольник можно вписать окружность.

Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной  n - угольной призмы

ЗАДАЧА. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной  n - угольной призмы.

РЕШЕНИЕ. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы вычисляются по формуле

V = S_осн h,

а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной  n - угольной призмы справедливо равенство

С помощью формулы для площади правильного  n - угольника, описанного около окружности радиуса   R,   получаем соотношение

Следовательно,

ОТВЕТ.

СЛЕДСТВИЕ 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы равно

СЛЕДСТВИЕ 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы равно

СЛЕДСТВИЕ 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно