Справочник по математике
Алгебра Формулы сокращенного умножения
Треугольник Паскаля
Для того, чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем Таблицу 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» в следующем виде (Таблица П.):
ТАБЛИЦА П – НАТУРАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ БИНОМА x + y
| Степень 0 |
|
(x + y)0 = Разложение в сумму одночленов: 1 |
| Степень 1 |
|
(x + y)1 = Разложение в сумму одночленов: 1x + 1y |
| Степень 2 |
|
(x + y)2 = Разложение в сумму одночленов: 1x2 + 2xy + 1y2 |
| Степень 3 |
|
(x + y)3 = Разложение в сумму одночленов: 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 |
| Степень 4 |
|
(x + y)4 = Разложение в сумму одночленов: 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 |
| Степень 5 |
|
(x + y)5 = Разложение в сумму одночленов: 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5 |
| Степень 6 |
|
(x + y)6 = Разложение в сумму одночленов: 1x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6 |
|
… |
Теперь, записывая только коэффициенты разложений степеней бинома в сумму одночленов, получим следующую Таблицу - Треугольник Паскаля:
ТАБЛИЦА - Треугольник Паскаля
|
№ |
Треугольник Паскаля |
|
0 |
1 |
|
1 |
1 1 |
|
2 |
1 2 1 |
|
3 |
1 3 3 1 |
|
4 |
1 4 6 4 1 |
|
5 |
1 5 10 10 5 1 |
|
6 |
1 6 15 20 15 6 1 |
|
… |
… |
На всякий случай напомним, что Блез Паскаль – это знаменитый физик и математик, живший во Франции более трех веков назад.
В треугольнике Паскаля каждая строка соответствует степени с тем же номером в Таблице П. Однако в каждой строке треугольника Паскаля, в отличие от Таблицы П., записаны только коэффициенты разложения в сумму одночленов соответствующей степени бинома x + y .
Заполнив сначала строки треугольника Паскаля с номерами 0 и 1, рассмотрим строки с номерами 2 и далее.
Основным свойством треугольника Паскаля, позволяющим последовательно, начиная со строки с номером 2, заполнять его строки, является следующее свойство:
Каждая из строк, начиная со строки с номером 2, во-первых, начинается и заканчивается числом 1, а, во-вторых, между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.
Действительно, число 2, стоящее в строке с номером два, равно сумме чисел 1 плюс 1, стоящих в первой строке. Точно так же, числа 3 и 3, стоящие в строке с номером три, равны соответственно сумме чисел 1 плюс 2 и сумме чисел 2 плюс 1, стоящих во второй строке.
Также и для других строк.
Таким образом, свойство треугольника Паскаля позволяет, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома x + y .
ПРИМЕР. Написать разложение вида:
(x + y)7 .
РЕШЕНИЕ. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:
|
6 |
1 6 15 20 15 6 1 |
|
7 |
1 7 21 35 35 21 7 1 |
Следовательно,
(x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y2 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .