учебные материалы

Справочник по математикеУравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения уравнения связанные с арифметической прогрессией примеры решенияАлгебраУравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения уравнения связанные с арифметической прогрессией примеры решения Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

 

Трехчленные уравнения и уравнения, связанные с арифметической прогрессией

Содержание

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения Трёхчленные уравнения
Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения связанные с арифметической прогрессией примеры решения Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
 

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения уравнения связанные с арифметической прогрессией примеры решения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся:

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Трехчленные уравнения

Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида

a f 2(x)+ b f (x) + c = 0, (1)

а также уравнения вида

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (2)

где a, b, c – заданные числа, а    f (x) – некоторая функция.

Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим

y = f (x), (3)

тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :

ay2 + by + c = 0 . (4)

Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .

Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.

Покажем, как это осуществляется на примерах.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 . (5)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

y = x2 – 2x , (6)

то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение

y2 – 2y – 3 = 0 . (7)

Решим уравнение (7):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

В первом случае из равенства (6) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

Во втором случае из равенства (6) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

ОТВЕТ:     – 1,     1,     3.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (8)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения, (9)

то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

которое эквивалентно уравнению

2y2 – 3 y – 2 = 0 . (10)

Решим уравнение (10):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

Во втором случае из равенства (9) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ОТВЕТ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (11)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (12)

то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение

y2 – 9 + 3 – 5y = 0 ,

которое эквивалентно уравнению

y2 – 5y – 6 = 0 . (13)

Решим уравнение (13):

y1 = – 1,     y2 = 6 .

В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

Во втором случае из равенства (12) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ОТВЕТ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ПРИМЕР 4. Решить биквадратное уравнение

x4 – x2 – 12 = 0 . (14)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

y = x2, (15)

то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение

y2 – y – 12 = 0 . (16)

Решим уравнение (16):

y1 = – 3,     y2 = 4 .

В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:

x2 = – 3,

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (15) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ОТВЕТ:    – 2,     2 .

ПРИМЕР 5. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (17)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

y = x2 – 3x, (18)

уравнение (17) превращается в уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

которое при умножении на   y   принимает вид

y2 + 2y – 8 = 0 . (19)

Решим уравнение (19):

y1 = – 4,     y2 = 2 .

В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (18) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ОТВЕТ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ПРИМЕР 6. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (20)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения (21)

уравнение (20) превращается в уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

которое при умножении на   y   принимает вид

3y2 – 2y – 1 = 0 . (22)

Решим уравнение (22):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

В первом случае из равенства (21) получаем уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

Во втором случае из равенства (21) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения трехчленные уравнения примеры решения

ОТВЕТ:     – 2 .

Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

Рассмотрим уравнение

(ax + b)(ax + b + c)(ax + + b + 2c)(ax + b + 3c) = d , (23)

где a, b, c, d –  заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b, а разность равна c.

Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.

Сначала обозначим

y = ax + b. (24)

Тогда уравнение (23) примет вид:

y (y + c)(y + 2c)(y + 3c) = d . (25)

Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:

[y (y + 3c)][(y + c)(y + 2c)] = d . (26)

Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:

[y2 + 3cy][y2 + 3cy + 2c2] = d . (27)

Если теперь в уравнении (27) обозначить

z = y2 + 3cy , (28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением

z2 + 2c2 z – d = 0 . (29)

Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно   y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно   x .

ПРИМЕР 7 . Решить уравнение

(2x + 3)(2x + 5)(2x + 7)(2x + 9) = 384 . (30)

РЕШЕНИЕ. Если обозначить

y = 2x + 3, (31)

уравнение (30) превращается в уравнение

y (y + 2)(y + 4)(y + 6) = 384 . (32)

Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):

[y (y + 6)][(y + 2)(y + 4)] = 384 . (33)

Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:

[y2 + 6y][y2 + 6y + 8] = 384 . (34)

Если теперь обозначить

z = y2 + 6y , (35)

то уравнение (34) станет квадратным уравнением

z2 + 8 z – 384 = 0 . (36)

Решим уравнение (36):

z1 = – 24,     z2 = 16 .

В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

которое корней не имеет.

Во втором случае из равенства (35) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

Во втором случае из равенства (31) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

ОТВЕТ: Уравнения сводящиеся к квадратным уравнения 4-ой степени левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

Близкие по тематике разделы сайта

Со способами решения других типов уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника и наших учебных пособиях:

Алгебра

Справочник по математике для школьников

Демоверсии ОГЭ

Демоверсии ЕГЭ

Учебные пособия для школьников

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2025 

Rambler's Top100