Mосква, Северо-восток

Тригонометрические функции кратных углов
(вывод с помощью комплексных чисел)

      Рассмотрим комплексное число

z = cos α + i sin α ,(1)

модуль которого равен 1, а аргумент равен α (см. раздел «Комплексные числа» нашего справочника). Если комплексное число (1) возвести в квадрат, то, с одной стороны,

z 2 = cos 2α + i sin 2α ,(2)

а, с другой стороны,

z 2 = (cos α + i sin α) 2 =
=
cos 2α +
+
2i cos α sin α –
sin 2α ,
(3)

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (2) и (3), мы получаем тригонометрические формулы «Косинус двойного угла» и «Синус двойного угла»:

cos 2α = cos 2α – sin 2α ,

sin 2α = 2cos α sin α .

      Если же комплексное число (1) возвести в куб, то, с одной стороны,

z 3 = cos 3α + i sin 3α ,(4)

а, с другой стороны,

z 3 = (cos α + i sin α) 3 =
=
cos 3α +
+
3cos 2α (i sin α) +
+
3cos α (i sin α)2 +
+
(i sin α)3 =
= cos 3 α – 3cos α sin2α +
+
3i cos2α sin α –
i sin3α =
= cos 3 α – 3cos αsin2α +
+
i (3cos2α sin α – sin3α).
(5)

      Следовательно,

z 3 = cos 3 α – 3cos α sin2 α +
+
i (3cos 2α sin α – sin3α) ,

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы получаем соотношения

cos 3α =
=
cos3α – 3cos α sin2 α =
=
cos3α –
3cos α (1 – cos2α) =
=
4cos3α – 3cos α ,

sin 3α =
=
3cos2α sin α – sin3α =
=
3(1 – sin2α) sin α –
sin3α =
=
3sin α – 4sin3α .

      Таким образом,

cos 3α = 4cos3α – 3cos α ,

sin 3α = 3sin α – 4sin3α ,

и вывод тригонометрических формул «Косинус тройного угла» и «Синус тройного угла» завершен.

      Совершенно аналогично можно вывести формулы для cos nα и sin nα, где n – произвольное натуральное число.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чиселкурсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чиселиндивидуальные занятия с репетиторами по математике
Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чиселиндивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика