Mосква, Северо-восток

Пирамида, вписанная в сферу

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферуПирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
радиус сферы описанной около правильной пирамиды радиус сферы описанной около правильного тетраэдраРадиус сферы, описанной около правильной n - угольной пирамиды
отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамидыОтношение объемов правильной n - угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной пирамиды отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

      Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

      Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу

Рис.1

      Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

      Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу

Рис.2

      На рисунке 2 изображена пирамида   SA1A2 ... An ,   вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник   A1A2 ... An   – основание пирамиды. Доказано.

      Теперь предположим, что около основания   A1A2 ... An   пирамиды   SA1A2 ... An   можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды   SA1A2 ... An   можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника   A1A2 ... An , символом   O'   и проведем прямую   p,   проходящую через точку   O'   и перпендикулярную к плоскости многоугольника   A1A2 ... An   (рис. 3).

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу

Рис.3

      Рассмотрим плоскость   β,   проходящую через середину отрезка   SAn   и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой   O   точку пересечения плоскости   β   с прямой   p,   то точка   O   и будет центром сферы, описанной около пирамиды   SA1A2 ... An .   Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу
сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу

Рис.4

      Докажем, что точка   O   находится на одном и том же расстоянии от точек   S ,   A1 ,   A2 ,   ...  ,   An .   Поскольку точка   O   лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   SAn ,   то расстояния   OS   и   OAn   равны. С другой стороны, отрезки   OA1 ,   OA2 ,   ...  ,   OAn   как гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках   OO'A1 ,   OO'A2 ,   ...  ,   OO'An .   (Треугольники   OO'A1 ,   OO'A2 ,   ...  ,   OO'An   равны, так как у них катет   OO'   общий, а катеты O'A1 ,   O'A2 ,   ... ,   O'An равны как радиусы окружности, описанной около многоугольника   A1A2 ... An  ).

      Итак, мы доказали, что точка   O   находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды   SA1A2 ... An .   Отсюда вытекает, что точка   O   является центром сферы, описанной около пирамиды   SA1A2 ... An .

      Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость   β   и прямая   p   действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость   β   и прямая   p   параллельны, а, значит, точка   S   лежит в плоскости   A1A2 ... An ,   что противоречит определению пирамиды.

      Теорема доказана.

      Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

      Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

      Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n - угольной пирамиды

      Задача 1. Высота правильной n - угольной пирамиды равна   h ,   а длина ребра основания равна   a .   Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

      Решение. Рассмотрим правильную n - угольную пирамиду   SA1A2 ... An   и обозначим буквой   O   центр описанной около пирамиды сферы, а символом   O'   – центр основания пирамиды. Проведем плоскость   SO'An   (рис. 5).

радиус сферы описанной около правильной пирамиды
радиус сферы описанной около правильной пирамиды

Рис.5

      Буквой   R   на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой   r   – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника   O'OAn   получаем

R2 = (h – R)2 + r2;

R2 = h2 – 2hR + R2 + r2;

2hR = h2 + r2.

      Следовательно,

радиус сферы описанной около правильной пирамиды(1)

      Поскольку

радиус сферы описанной около правильной пирамиды

из формулы (1) получаем соотношение

радиус сферы описанной около правильной пирамиды(2)

      Ответ.радиус сферы описанной около правильной пирамиды

      Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a ,   равен

радиус сферы описанной около правильной треугольной пирамиды

      Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром   a ,   равен

радиус сферы описанной около правильного тетраэдра

      Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a ,   равен

радиус сферы описанной около правильной четырехугольной пирамиды

      Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a ,   равен

радиус сферы описанной около правильной шестиугольной пирамиды

Отношение объемов правильной n - угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

      Задача 2. Около правильной n - угольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a   описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

      Решение. Объем шара выражается через его радиус по формуле

отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды

      Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды

      Объем правильной n - угольной пирамиды найдем по формуле Объем правильной n - угольной пирамиды найдем по формуле:

отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды

      Таким образом,

отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды
отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды

      Ответ.отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамиды

      Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания  a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной треугольной пирамиды и описанной около нее сферы

      Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

отношение объемов правильного тетраэдра и описанной около него сферы

      Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

отношение объемов правильной четырехугольной пирамиды и описанной около нее сферы

      Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

отношение объемов правильной шестиугольной пирамиды и описанной около нее сферы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной пирамиды радиус сферы описанной около правильного тетраэдра отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамидыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

сфера описанная около пирамиды свойства пирамиды вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной пирамиды радиус сферы описанной около правильного тетраэдра отношение объемов шара и вписанной в него правильной пирамидыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика