Mосква, Северо-восток

Площадь треугольника

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для площади треугольникаФормулы для площади треугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вывод формул для площади произвольного треугольникаВывод формул для площади произвольного треугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вывод формул для площади равностороннего правильного треугольникаВывод формул для площади равностороннего (правильного) треугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вывод формул для площади прямоугольного треугольникаВывод формул для площади прямоугольного треугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для площади треугольника

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

ФигураРисунокФормула площадиОбозначения
Произвольный треугольникПлощадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
haвысота, опущенная на эту сторону

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольникПлощадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a – сторона

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

h – высота

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольникПлощадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a и b – катеты

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник
Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник
Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник
Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник
Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник
Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул
Площадь треугольника вывод формул

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

Площадь треугольника вывод формул
Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
=
ha
ctg C + hactg B =
=
ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

Площадь треугольника вывод формул
Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b =
2R sin B ,    
c = 
2 sin C ,

      В силу утверждения 5

Площадь треугольника вывод формул
Площадь треугольника вывод формул
Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

  1. Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь
  2. Формула площади равностороннего правильного треугольника

  3. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь
  4. Формула площади равностороннего правильного треугольника

  5. Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

  6. Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь
  7. Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 7.
  2. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 7

    В силу утверждения 2

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
  3. Рассмотрим рисунок 8.
  4. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 8

    Поскольку

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

    то

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
  5. Рассмотрим рисунок 9.
  6. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 9

    Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
  7. Рассмотрим рисунок 10.
  8. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 10

    Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружностиСледовательно,

    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности
    Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

          Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

  1. Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь
  2. Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Если aкатет прямоугольного треугольника, а φ – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
  4. Формула площади прямоугольного треугольника

  5. Если aкатет прямоугольного треугольника, а φ – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
  6. Формула площади прямоугольного треугольника

  7. Формула площади прямоугольного треугольника

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.
  2. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 11

    В силу утверждения 2

    Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Рассмотрим рисунок 12.
  4. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника
    Формула площади прямоугольного треугольника
  5. Рассмотрим рисунок 13.
  6. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника
    Формула площади прямоугольного треугольника
  7. Рассмотрим рисунок 14.
  8. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника
    Формула площади прямоугольного треугольника

          Доказательство утверждения 8 завершено.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Площадь треугольника вывод формулподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Площадь треугольника вывод формулиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика