Площади четырехугольников
 Формулы для площадей четырехугольников |
| Вывод формул для площадей четырехугольников |
| Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника |
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
S = ab,
которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.
Формулы для площадей четырехугольников
| Четырехугольник | Рисунок | Формула площади | Обозначения |
| Прямоугольник |  | S = ab | a и b – смежные стороны |
 |
| d – диагональ, | |
 | S = 2R2 sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R | R – радиус описанной окружности, | |
| Параллелограмм |  | S = a ha | a – сторона, |
 | S = absin φ | a и b – смежные стороны, | |
 |
| d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними | |
| Квадрат |  | S = a2 | a – сторона квадрата |
 | S = 4r2 | r – радиус вписанной окружности | |
 |
| d – диагональ квадрата | |
 | S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R | R – радиус описанной окружности | |
| Ромб |  | S = a ha | a – сторона, |
 | S = a2 sin φ | a – сторона, | |
 |
| d1, d2 – диагонали | |
 | S = 2ar | a – сторона, | |
 |
| r – радиус вписанной окружности, | |
| Трапеция |  |
| a и b – основания, |
 | S = m h | m – средняя линия, | |
 |
| d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними | |
 |
| a и b – основания, | |
| Дельтоид |  | S = ab sin φ | a и b – неравные стороны, |
 |  | a и b – неравные стороны, | |
 | S = (a + b) r | a и b – неравные стороны, | |
 |
| d1, d2 – диагонали | |
| Произвольный выпуклый четырёхугольник |  |
| d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
| Вписанный четырёхугольник |  |
| a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, Формулу называют «Формула Брахмагупты» |
| Прямоугольник | |
| S = ab где |
|
где |
| S = 2R2 sin φ где Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Параллелограмм | |
| S = a ha где |
| S = absin φ где |
|
где φ – любой из четырёх углов между ними |
| Квадрат | |
| S = a2 где |
| S = 4r2 где |
|
где |
| S = 2R2 где Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Ромб | |
| S = a ha где |
| S = a2 sin φ где |
|
где |
| S = 2ar где |
|
где |
| Трапеция | |
|
где |
| S = m h где |
|
где φ – любой из четырёх углов между ними |
|
где |
| Дельтоид | |
| S = ab sin φ где |
| где |
| S = (a + b) r где |
|
где |
| Произвольный выпуклый четырёхугольник | |
|
где φ – любой из четырёх углов между ними |
| Вписанный четырёхугольник | |
|
где Формулу называют «Формула Брахмагупты» |
| Прямоугольник |
S = ab где |
где |
S = 2R2 sin φ где Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Параллелограмм |
S = a ha где |
S = absin φ где |
где φ – любой из четырёх углов между ними |
| Квадрат |
S = a2 где |
S = 4r2 где |
где |
S = 2R2 где Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Ромб |
S = a ha где |
S = a2 sin φ где |
где |
S = 2ar где |
где |
| Трапеция |
где |
S = m h где |
где φ – любой из четырёх углов между ними |
  где |
| Дельтоид |
S = ab sin φ где |
где |
S = (a + b) r где |
где |
| Произвольный выпуклый четырёхугольник |
где φ – любой из четырёх углов между ними |
| Вписанный четырёхугольник |
   где Формулу называют «Формула Брахмагупты» |
Вывод формул для площадей четырехугольников
Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле
где d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).
Рис. 1
Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле
S = a ha ,
где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).
Рис. 2
Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому
SABCD = SAEFD = a ha ,
что и требовалось доказать.
Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
S = ab sin φ,
где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
Рис. 3
Доказательство. Поскольку
ha = b sin φ,
то, в силу утверждения 2, справедлива формула
S = a ha = ab sin φ,
что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле
,
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
Рис. 4
Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания трапеции, а h – высотавысотавысота (рис.5).
Рис. 5
Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле
,где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,
(рис.6).
Рис. 6
Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):
Следовательно,
где
,что и требовалось доказать.
Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:
S = (a + b) r,
где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Рис. 7
Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |
