Справочник по математике

Элементы математического анализа

Производная функции

Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость вниз
с помощью второй производной

Выпуклые вверх функции

Выпуклые вниз функции

Вторая производная функции

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

Точки перегиба

Необходимые условия для существования точки перегиба

Достаточные условия для существования точки перегиба

Выпуклые вверх функции

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек таких, что   x₁ < x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

Рис.1

      Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция   y = – x²   (рис. 2).

Рис.2

Выпуклые вниз функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),   если для любых двух точек таких, что   x₁ < x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

Рис.3

      Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция   y = x²   (рис. 4).

Рис.4

Вторая производная функции

      Определение 3. Если у функции   y = f (x)   существует производная в некоторой точке   x₀ ,   то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Пусть у функции   y = f (x)   существует производная во всех точках . Тогда, вычисляя в каждой точке производную   f ' (x),   мы получим функцию   y = f ' (x).   Если у функции   y = f ' (x)   существует производная в некоторой точке   x₀   интервала   (a, b),   то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Для производной второго порядка   y = f (x)   используются обозначения:

      Например,

      Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции   f (x),   можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

      При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

      Утверждение 1. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f '' (x) > 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вниз на интервале   (a, b).

      Утверждение 2. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f '' (x) < 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вверх на интервале   (a, b).

      Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

      Пример 3. Функция   y = ln x   на интервале удовлетворяет условию

      В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция   y = ln x   выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения .

Рис.5

      Пример 4. Функция   y = e ^x   на интервале удовлетворяет условию

и, в силу утверждения 1, функция   y = e ^x   выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения .

Рис.6

Точки перегиба

      Определение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ .   Говорят, что при переходе через точку   x₀   функция   f (x)   меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

(a, x₀)   и   (x₀,  b)

функция выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

      Определение 5. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , а у графика функции   в точке   (x₀;  f (x₀))   существует касательная. Если функция   f (x)   при переходе через точку   x₀   меняет направление выпуклости, то точку   x₀   называют точкой перегиба функции   f (x) .

      Замечание 1 . Если   x₀   – точка перегиба функции   y = f (x),   то график функции   y = f (x)   при переходе через точку   x₀   переходит с одной стороны от касательной в точке   (x₀;  f (x₀))   на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

      Пример 5. Рассмотрим функцию   y = x³,   график которой изображен на рисунке 7.

Рис.7

      Поскольку

y (0) = 0,   y' (0) = 0,

то прямая   y = 0   (ось абсцисс   Ox )   является касательной к графику функции   y = x³   в точке   (0; 0).

      Кроме того,

      Поэтому   y" > 0   при   x > 0   и   y" < 0   при   x < 0 .   Таким образом, функция   y = x³   выпукла вверх при   x < 0   и выпукла вниз при   x > 0 ,   и точка   x = 0   является точкой перегиба графика функции   y = x³.   График функции   y = x³   при переходе через точку   x = 0   переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную   y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

      Утверждение 3. Если точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x₀   либо вторая производная   f '' (x) = 0 ,   либо   f '' (x)   не существует.

      Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

      Действительно, рассмотрим функцию   y = x⁴,   график которой изображен на рисунке 8.

Рис.8

      Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что   y '' (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x⁴,   так как функция   y = x⁴   выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

      Утверждение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , имеет первую производную в каждой точке интервала   (a, b)   и имеет вторую производную в каждой точке интервала   (a, b)   за исключением, быть может, самой точки   x₀ .

      Если для точек выполнено условие:

f '' (x) > 0   при   x < x₀   и   f '' (x) < 0   при   x > x₀ ,

либо выполнено условие:

f '' (x) < 0   при   x < x₀   и   f '' (x) > 0   при   x > x₀ ,

то точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x).

      Другими словами, точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   если при переходе через точку   x₀   вторая производная функции меняет свой знак.

      Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

y (x) = x⁴ – 6x³ + 12x²

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

      Решение. Вычислим вторую производную функции:

y' (x) = 4x³ – 18x² + 24x ,

      Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках и обращается в нуль в точках   x = 1   и   x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

Рис.9

      При переходе через точку   x = 1   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно,   x = 1   – точка перегиба графика функции.

      При переходе через точку   x = 2   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 2   также является точкой перегиба графика функции.

      При и при вторая производная функции   y" (x) > 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вниз на этих интервалах.

      При вторая производная функции   y" (x) < 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вверх на интервале   (1, 2) .

      ;На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.