Справочник по математике

Элементы математического анализа

Функции

Пределы функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Раскрытие неопределенностей типа

Раскрытие неопределенностей типа

Первый замечательный предел

Раскрытие неопределенностей типа . Второй замечательный предел

Предел функции

           В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции, встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции   x ,   и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.

Название	Обозначение	Определение
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   равен числу   A		Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   δ ,   что при всех , удовлетворяющих неравенству | x – a | < δ , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε .
	f (x) → A при   x → a
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A		Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству x > C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε .
	f (x) → A при
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A		Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству x < C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε .
	f (x) → A при
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен числу   A		Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству | x | > C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε .
	f (x) → A при   x →
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен		Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству | x | > C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D .
	f (x) → при   x →
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен		Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству x > C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D .
	f (x) → при
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к ,   равен		Функция   f (x)   стремится к   при   x,   стремящемся к , если для любого положительного числа   D   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству x < C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D .
	f (x) → при
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   слева, равен Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые меньше   a .		Функция   f (x)   стремится к , при   x, стремящемся к числу   a   слева, если для любого положительного числа   С   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству a – δ < x < a , будет выполняться неравенство | f (x)| > C .
	f (x) →  при   x → a – 0
Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   справа, равен Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые больше   a .		Функция   f (x)   стремится к , при   x , стремящемся к числу   a   справа, если для любого положительного числа   С,   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству a < x < a + δ , будет выполняться неравенство | f (x)| > C .
	f (x) →  при   x → a + 0

Свойства пределов функций

      Если у функций   f (x)   и   g (x)   при   x ,   стремящемся к   a ,   существуют пределы

  и   ,

где   A   и   B   – некоторые числа, то при   x ,   стремящемся к   a ,   существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем

* * *

* * *

      Если, кроме того, выполнено условие

то при   x ,   стремящемся к   a ,   существует предел дроби

причем

      Для любой непрерывной функции   F (x)   справедливо равенство

Раскрытие неопределенностей типа

      Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

      Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример 1. Найти предел функции предел функции

      Решение. Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим

      Ответ.

      Пример 2. Найти предел функции предел функции

      Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:

      Далее, используя свойства пределов функций, находим

      Ответ.   3 .

Раскрытие неопределенностей типа

      Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны   0 ,   то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .

      В алгебраических дробях неопределенность  при   x → a   раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя   (x – a) .

      Пример 3. Найти предел функции

      Решение. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к   0   при   x → – 2 ,   то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа ,   разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на   (x + 2) :

      Теперь предел знаменателя дроби равен   – 11 ,   и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

      Пример 4. Найти предел функции

      Решение. В этом примере также возникает неопределенность типа .

      Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу   5   при   x → 5 ,   то домножим и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применим формулу сокращенного уножения «разность квадратов»:

      Разложим теперь квадратный трехчлен   4x² – 9x – 55   на множители, а затем сократим числитель и знаменатель на   (x – 5) :

      Воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

Первый замечательный предел

      В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность  раскрывается с помощью первого замечательного предела

      Пример 5. Найти предел функции

      Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к   0   при   x → 0 ,   поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа ,   разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки   x²,   а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов»:

      Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

      Пример 6. Найти предел функции

      Решение. Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной   x   к новой переменной   z   по формуле

.

      Поскольку

,

то предел можно преобразовать к виду

      Применяя формулы приведения и формулу для косинуса двойного угла, получаем

      Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

      Ответ.

Раскрытие неопределенности типа . Второй замечательный предел

      Определение 3. Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен   1,   а предел показателя степени равен , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности   .

      Неопределенность    раскрывается с помощью второго замечательного предела:

(1)

      Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:

(2)

      Пример 7. Найти предел функции предел функции

      Решение. Рассмотрим функцию

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции   y = ln f (x)   при   x →. Применяя свойства логарифмов, получаем

      Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,

и заметим, что

      Поэтому, воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, находим

      В пределе

и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, поэтому для раскрытия неопределенности вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим

      Таким образом,

      Ответ.

      Пример 8. Найти предел функции

      Решение. Рассмотрим функцию

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции   y = ln f (x)   при   x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем

(3)

           Чтобы вычислить предел функции   y = ln f (x)   при   x → – 6 ,   перейдем от переменной   x   к новой переменной   z   по формуле

x = – 6 + z .

      Поскольку

то предел (3) можно преобразовать к виду, с помощью формулы (3), получаем

           Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, получаем

      Следовательно,

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.