Mосква, Северо-восток

Пределы функций

предел функции определениеПредел функции
свойства пределов функцийСвойства пределов функций
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный пределРаскрытие неопределенностей типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностейРаскрытие неопределенностей типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный пределПервый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный пределРаскрытие неопределенностей типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел. Второй замечательный предел
предел функции свойства пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел второй замечательный предел примеры вычисления пределов функций

Предел функции

           В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции, встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции   x ,   и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.

НазваниеОбозначениеОпределение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   равен числу   A  

предел функции определение

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   δ ,   что при всех предел функции определение, удовлетворяющих неравенству

| x – a | < δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при   xa

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен числу   A  

предел функции определение

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся кпредел функции определение, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при предел функции определение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен числу   A  

предел функции определение

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся кпредел функции определение, если для любого положительного числа   ε   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при предел функции определение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен числу   A  

предел функции определение

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся кпредел функции определение, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

f (x) → A

при   xпредел функции определение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен предел функции определение  

предел функции определение

Функция   (x)   стремится к предел функции определение  при   x,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →предел функции определение

при   xпредел функции определение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен предел функции определение

предел функции определение

Функция   (x)   стремится к предел функции определение  при   x,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →предел функции определение

при предел функции определение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен предел функции определение

предел функции определение

Функция   (x)   стремится к предел функции определение  при   x,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   D   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

f (x) →предел функции определение

при предел функции определение

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   слева, равен предел функции определение

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые меньше   a .

предел функции определение

Функция   (x)   стремится к предел функции определение, при   x, стремящемся к числу   a   слева, если для любого положительного числа   С   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a – δ < x < a ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

f (x) →предел функции определение 

при   xa – 0

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   справа, равен предел функции определение

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые больше   a .

предел функции определение

Функция   (x)   стремится к предел функции определение, при   x , стремящемся к числу   a   справа, если для любого положительного числа   С,   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a < x < a + δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

f (x) →предел функции определение 

при   xa + 0

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   равен числу   A  

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) → A   при   xa

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a,   если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   δ ,   что при всех предел функции определение, удовлетворяющих неравенству

| x – a | < δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен числу   A  

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) → A   при предел функции определение

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен числу   A

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) → A   при предел функции определение

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   ε   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен числу   A

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) → A   при   xпредел функции определение

Определение:

Число   A   называют пределом функции   f (x)   при   x ,   стремящемся кпредел функции определение, если для любого положительного числа   ε   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x) – A | < ε .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен предел функции определение

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) →предел функции определение   при   xпредел функции определение

Определение:

Функция   (x)   стремится к предел функции определение  при   x,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

| x | > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен предел функции определение

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) →предел функции определение   при предел функции определение

Определение:

Функция   (x)   стремится к предел функции определение  при   x,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   D   найдется такое положительное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x > C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к предел функции определение,   равен предел функции определение

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) →предел функции определение   при предел функции определение

Определение:

Функция   (x)   стремится к предел функции определение  при   x,   стремящемся к предел функции определение, если для любого положительного числа   D   найдется такое отрицательное число   С,   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

x < C ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > D .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   слева, равен предел функции определение

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые меньше   a .

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) →предел функции определение   при   xa – 0

Определение:

Функция   (x)   стремится к предел функции определение, при   x, стремящемся к числу   a   слева, если для любого положительного числа   С   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a – δ < x < a ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

Название:

Предел функции   f (x)   при   x,   стремящемся к числу   a   справа, равен предел функции определение

Замечание. Когда говорят, что   x   стремится к   a   справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения   x ,   которые больше   a .

Обозначения:

предел функции определение

или

f (x) → предел функции определение   при   xa + 0 .

Определение:

Функция   (x)   стремится к предел функции определение, при   x , стремящемся к числу   a   справа, если для любого положительного числа   С,   найдется такое положительное число   δ   что при всех   x,   удовлетворяющих неравенству

a < x < a + δ ,

будет выполняться неравенство

| f (x)| > C .

Свойства пределов функций

      Если у функций   f (x)   и   g (x)   при   x ,   стремящемся к   a ,   существуют пределы

свойства пределов функций   и   свойства пределов функций,

где   A   и   B   – некоторые числа, то при   x ,   стремящемся к   a ,   существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем

предел функции свойства пределов функцийпредел функции свойства пределов функций
предел функции свойства пределов функцийпредел функции свойства пределов функций
предел функции свойства пределов функцийпредел функции свойства пределов функций
предел функции свойства пределов функций
предел функции свойства пределов функций
предел функции свойства пределов функций

      Если, кроме того, выполнено условие

предел функции свойства пределов функций

то при   x ,   стремящемся к   a ,   существует предел дроби

предел функции свойства пределов функций

причем

предел функции свойства пределов функцийпредел функции свойства пределов функций

      Для любой непрерывной функции   F (x)   справедливо равенство

предел функции свойства пределов функцийпредел функции свойства пределов функций

Раскрытие неопределенностей типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся кпримеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей.

      Часто неопределенность типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностейудается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример 1. Найти предел функции предел функции

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Решение. Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Ответ. примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Пример 2. Найти предел функции предел функции

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Далее, используя свойства пределов функций, находим

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Ответ.   3 .

Раскрытие неопределенностей типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей

      Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны   0 ,   то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел.

      В алгебраических дробях неопределенность примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел при   xa   раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя   (x – a) .

      Пример 3. Найти предел функции

предел функции раскрытие неопределенностей

      Решение. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к   0   при   x → – 2 ,   то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей,   разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на   (x + 2) :

предел функции раскрытие неопределенностей
предел функции раскрытие неопределенностей

      Теперь предел знаменателя дроби равен   – 11 ,   и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем

предел функции раскрытие неопределенностей
предел функции раскрытие неопределенностей

      Ответ. предел функции раскрытие неопределенностей

      Пример 4. Найти предел функции

предел функции раскрытие неопределенностей

      Решение. В этом примере также возникает неопределенность типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей.

      Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу   5   при   x → 5 ,   то домножим и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применим формулу сокращенного уножения «разность квадратов»:

предел функции раскрытие неопределенностей
предел функции раскрытие неопределенностей

      Разложим теперь квадратный трехчлен   4x2 – 9x – 55   на множители, а затем сократим числитель и знаменатель на   (x – 5) :

предел функции раскрытие неопределенностей

предел функции раскрытие неопределенностей

      Воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем

предел функции раскрытие неопределенностей

      К сожалению, из-за большого размера формул для расчета подробные вычисления на Вашем мобильном устройстве не видны. Их можно посмотреть только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах).

      Указания к решению примера. Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу   5   при   x → 5 ,   то сначала необходимо домножить и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применить формулу сокращенного уножения «разность квадратов». Затем, разложив квадратный трехчлен   4x2 – 9x – 55   на множители, сократить числитель и знаменатель на   (x – 5) .

      После этого, воспользовавшись свойствами пределов функций, получить ответ.

      На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

      Ответ. предел функции раскрытие неопределенностей

Первый замечательный предел

      В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел раскрывается с помощью первого замечательного предела

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Пример 5. Найти предел функции

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к   0   при   x → 0 ,   поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей,   разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки   x2,   а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов»:

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Ответ. примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Пример 6. Найти предел функции

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Решение. Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной   x   к новой переменной   z   по формуле

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел.

      Поскольку

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел,

то предел можно преобразовать к виду

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Применяя формулы приведения и формулу для косинуса двойного угла, получаем

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

      Ответ. примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел

Раскрытие неопределенности типа примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел. Второй замечательный предел

      Определение 3. Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен   1,   а предел показателя степени равен предел функции определение, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности   примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел.

      Неопределенность   примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел раскрывается с помощью второго замечательного предела:

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел(1)

      Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел(2)

      Пример 7. Найти предел функции предел функции

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Решение. Рассмотрим функцию

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции   y = ln f (x)  при   x →примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел. Применяя свойства логарифмов, получаем

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

           Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

и заметим, что

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

           Поэтому, воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, находим

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      В пределе

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся кпримеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей, поэтому для раскрытия неопределенностипримеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Следовательно,

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Таким образом,

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Ответ. примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Пример 8. Найти предел функции

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Решение. Рассмотрим функцию

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции   y = ln f (x)   при   x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел
(3)

           Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной   x   к новой переменной   z   по формуле

x = – 6 + z .

      Поскольку

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

то предел (3) можно преобразовать к виду

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

           Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, получаем

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел
примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Следовательно,

примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

      Ответ. примеры вычисления пределов функций раскрытие неопределенностей второй замечательный предел

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

предел функции свойства пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел второй замечательный предел примеры вычисления пределов функцийподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

предел функции свойства пределов функций раскрытие неопределенностей первый замечательный предел второй замечательный предел примеры вычисления пределов функцийиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика