![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции, встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции x , и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.
Название | Обозначение | Определение |
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A | ![]() | Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех | x – a | < δ , будет выполняться неравенство |
f (x) → A при x → a | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к | ![]() | Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к x > C , будет выполняться неравенство |
f (x) → A при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к | ![]() | Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к x < C , будет выполняться неравенство |
f (x) → A при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к | ![]() | Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к | x | > C , будет выполняться неравенство |
f (x) → A при x → | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к | ![]() | Функция f (x) стремится к | x | > C , будет выполняться неравенство |
f (x) → при x → | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к | ![]() | Функция f (x) стремится к x > C , будет выполняться неравенство |
f (x) → при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к | ![]() | Функция f (x) стремится к x < C , будет выполняться неравенство |
f (x) → при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен Замечание. Когда говорят, что x стремится к a слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые меньше a . | ![]() | Функция f (x) стремится к a – δ < x < a , будет выполняться неравенство |
f (x) → при x → a – 0 | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен Замечание. Когда говорят, что x стремится к a справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые больше a . | ![]() | Функция f (x) стремится к a < x < a + δ , будет выполняться неравенство | f (x)| > C . |
f (x) → при x → a + 0 |
Если у функций f (x) и g (x) при x , стремящемся к a , существуют пределы
и
,
где A и B – некоторые числа, то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
* * *
* * *
Если, кроме того, выполнено условие
то при x , стремящемся к a , существует предел дроби
причем
![]() | ![]() |
Для любой непрерывной функции F (x) справедливо равенство
![]() | ![]() |
Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа
.
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
Пример 1. Найти предел функции предел функции
Решение. Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим
Ответ.
Пример 2. Найти предел функции предел функции
Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:
Далее, используя свойства пределов функций, находим
Ответ. 3 .
Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны 0 , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .
В алгебраических дробях неопределенность при x → a раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя (x – a) .
Пример 3. Найти предел функции
Решение. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → – 2 , то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на (x + 2) :
Теперь предел знаменателя дроби равен – 11 , и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем
Ответ.
Пример 4. Найти предел функции
Решение. В этом примере также возникает неопределенность типа .
Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу 5 при x → 5 , то домножим и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применим формулу сокращенного уножения «разность квадратов»:
Разложим теперь квадратный трехчлен 4x2 – 9x – 55 на множители, а затем сократим числитель и знаменатель на (x – 5) :
Воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем
К сожалению, из-за большого размера формул для расчета подробные вычисления на Вашем мобильном устройстве не видны. Их можно посмотреть только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах).
Указания к решению примера. Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу 5 при x → 5 , то сначала необходимо домножить и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применить формулу сокращенного уножения «разность квадратов». Затем, разложив квадратный трехчлен 4x2 – 9x – 55 на множители, сократить числитель и знаменатель на (x – 5) .
После этого, воспользовавшись свойствами пределов функций, получить ответ.
На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Ответ.
В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность раскрывается с помощью первого замечательного предела
Пример 5. Найти предел функции
Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → 0 , поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки x2, а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов»:
Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем
Ответ.
Пример 6. Найти предел функции
Решение. Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле
.
Поскольку
,
то предел можно преобразовать к виду
Применяя формулы приведения и формулу для косинуса двойного угла, получаем
Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем
Ответ.
Определение 3. Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен 1, а предел показателя степени равен , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности
.
Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела:
![]() | (1) |
Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:
![]() | (2) |
Пример 7. Найти предел функции предел функции
Решение. Рассмотрим функцию
и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x →. Применяя свойства логарифмов, получаем
Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,
и заметим, что
Поэтому, воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, находим
Поэтому функцию y = ln f (x) удобно представить в сдедующем виде
Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2), находим
В пределе
и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, поэтому для раскрытия неопределенности
вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим
Следовательно,
Следовательно, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем
Таким образом,
Ответ.
Пример 8. Найти предел функции
Решение. Рассмотрим функцию
и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем
![]() ![]() ![]() | (3) |
Чтобы вычислить предел функции y = ln f (x) при x → – 6 , перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле
x = – 6 + z .
Поскольку
то предел (3) можно преобразовать к виду, с помощью формулы (3), получаем
Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, получаем
Следовательно,
Ответ.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |