Справочник по математикеопределенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачЭлементы математического анализаопределенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач Интегралы

 

Определенный интеграл. Теорема Ньютона - Лейбница

Содержание

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
Производная от определенного интеграла по верхнему пределу Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница Теорема Ньютона - Лейбница
определенный интеграл примеры решения задач Примеры решения задач
 

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

Рис.1

Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

Рис.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования (1)

Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Если обозначить   (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.3

то будет справедлива формула

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (2)

ТЕОРЕМА 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

Другими словами, справедлива формула

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы (2) следует, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.4

Из формул (3) и (2) получаем, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.5

Если ввести обозначения

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

Из неравенства (5) следует, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

По определению производной функции   S (x)   имеем

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

СЛЕДСТВИЕ 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона - Лейбница

ТЕОРЕМА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (7)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

S (x) = F (x) + c (8)

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (9)

Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (10)

Заметим, что

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Формулу (7) часто записывают в виде

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

ЗАМЕЧАНИЕ 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач

Рис.6

Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции

ОТВЕТ.определенный интеграл площадь криволинейной трапеции

ЗАДАЧА 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач

Рис.7

Вычислить интеграл

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач (13)

РЕШЕНИЕ. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

ОТВЕТ.   29.

ЗАДАЧА 3. Вычислить определенный интеграл

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач (14)

РЕШЕНИЕ. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

ОТВЕТ.определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

Близкие по тематике разделы сайта

С более подробным и расширенным изложением материала «Интегральное исчисление функций одной переменной» можно ознакомиться в учебно-методическом пособии: «Интегральное исчисление функций одной переменной».

Способы вычисления неопределенных интегралов можно посмотреть также в пособиях

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 2 семестр)».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика