Справочник по математике

Элементы математического анализа

Интегралы

Определенный интеграл. Теорема Ньютона - Лейбница

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Теорема Ньютона - Лейбница

Примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   S (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Рис.3

то будет справедлива формула

(2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Рис.5

      Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

      Из неравенства (5) следует, что

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

      По определению производной функции   S (x)   имеем

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона - Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

      Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e ^{– x},     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

      Ответ.

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

Рис.7

Вычислить интеграл

(13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

(14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.