Mосква, Северо-восток

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

правила вычисления производных производная суммы производная разности производная произведения производная частного (дроби) производная сложной функцииПравила вычисления производных
Таблица производных часто встречающихся функций производная степени производная показательной функции производная логарифма производная синуса производная косинуса производная тангенса производная котангенса производная арксинуса производная арккосинуса производная арктангенса производная арккотангенсаТаблица производных часто встречающихся функций
Таблица производных сложных функцийТаблица производных сложных функций
правила вычисления производных производная суммы производная разности производная произведения производная частного (дроби) производная сложной функции таблица производных

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))' = c f ' (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

правила вычисления производных производная частного (дроби),

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x)

      Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

ФункцияФормула для производнойНазвание формулы

y = c ,

где  c – любое число

y' = 0Производная от постоянной функции

y = x c ,

где  c – любое число

y' = c xc – 1Производная степенной функции
y = e xy' = e xПроизводная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

y' = a x ln aПроизводная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0производная натурального логарифма,   x > 0Производная от натурального логарифма

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная логарифма по основанию a,   x > 0Производная от логарифма по основанию   a
y = sin xy' = cos xПроизводная синуса
y = cos xy' = – sin xПроизводная косинуса

y = tg x ,

производная тангенса

производная тангенса , производная тангенсаПроизводная тангенса

y = ctg x ,

производная котангенса

производная котангенса , производная котангенсаПроизводная котангенса

y = arcsin x , производная арксинуса

производная арксинусаПроизводная арксинуса

y = arccos x , производная арккосинуса

производная арккосинусаПроизводная арккосинуса
y = arctg xпроизводная арктангенсаПроизводная арктангенса
y = arcctg xпроизводная арктангенсаПроизводная арккотангенса
Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y' = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y' = c xc – 1

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

Функция:

y = e x

Формула для производной:

y' = e x

Производная от показательной функции с основанием   a

Функция:

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y' = a x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x ,   x > 0

Формула для производной:

производная натурального логарифма,   x > 0
Производная от логарифма по основанию   a

Функция:

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная логарифма по основанию a,   x > 0
Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y' = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y' = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где производная тангенса

Формула для производной:

производная тангенса , производная тангенса
Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где производная котангенса

Формула для производной:

производная котангенса , производная котангенса
Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x , производная арксинуса

Формула для производной:

производная арксинуса
Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x , производная арккосинуса

Формула для производной:

производная арккосинуса
Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

производная арктангенса
Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

производная арктангенса

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, производная сложной функции.

ФункцияФормула для производной

y = (kx + b) c ,

где  c – любое число.

y' = kc (kx + b) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

производная сложной функции производная степени
y = ekx + by = kekx + b
y = e f (x)производная сложной функции производная экспоненты

y = akx + b

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции
y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0производная сложной функции производная показательной функции,

kx + b > 0

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0производная сложной функции производная натурального логарифма,

f (x) > 0

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции,   kx + b > 0

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная логарифма,   f (x) > 0
y = sin (kx + b)y' = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))производная сложной функции производная синуса
y = cos (kx + b)y' = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))производная сложной функции производная косинуса

y = tg (kx + b),

где производная сложной функции производная тангенса

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

y = ctg (kx + b),

где производная сложной функции производная котангенса

производная сложной функции производная котангенса ,
производная сложной функции производная котангенса

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

производная сложной функции производная котангенса ,
производная сложной функции производная котангенса
y = arcsin (kx + b), производная сложной функции производная арксинусапроизводная сложной функции производная арксинуса
y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинусапроизводная сложной функции производная арксинуса
y = arccos (kx + b), производная сложной функции производная арккосинусапроизводная сложной функции производная арккосинуса
y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинусапроизводная сложной функции производная арккосинуса
y = arctg (kx + b)производная сложной функции производная арктангенса
y = arctg ( f (x))производная сложной функции производная арктангенса
y = arcctg (kx + b)производная сложной функции производная арккотангенса
y = arcctg ( f (x))производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = (kx + b) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

y' = kc (kx + b) c – 1 ,

Функция:

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

производная сложной функции производная степени

Функция:

y = ekx + b

Формула для производной:

y = kekx + b

Функция:

y = e f (x)

Формула для производной:

производная сложной функции производная экспоненты

Функция:

y = akx + b

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции,   kx + b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная натурального логарифма,   f (x) > 0

Функция:

y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции,   kx + b > 0

Функция:

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная логарифма,   f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx + b)

Формула для производной:

y' = k cos (kx + b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная синуса

Функция:

y = cos (kx + b)

Формула для производной:

y' = – k sin (kx + b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная косинуса

Функция:

y = tg (kx + b),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

Функция:

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса

Функция:

y = ctg (kx + b),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная котангенса , производная сложной функции производная котангенса

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная котангенса , производная сложной функции производная котангенса

Функция:

y = arcsin (kx + b), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арксинуса

Функция:

y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арксинуса

Функция:

y = arccos (kx + b), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккосинуса

Функция:

y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккосинуса

Функция:

y = arctg (kx + b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arcctg (kx + b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

правила вычисления производных производная суммы производная разности производная произведения производная частного (дроби) производная сложной функции производная логарифма производная синуса производная косинуса производная тангенса производная котангенса таблица производныхподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

правила вычисления производных производная суммы производная разности производная произведения производная частного (дроби) производная сложной функции производная логарифма производная синуса производная косинуса производная тангенса производная котангенса таблица производныхиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика