Справочник по математике

Элементы математического анализа

Производная функции

Примеры вычисления производных

      Пример 1. Найти производную функции

y = cos 2x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   k = 2,   b = 0,   получим

(cos 2x)' = – 2sin 2x .

      Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:

(cos 2x)' = – sin 2x .

      Это ошибка !!!

      Перепишем верный ответ еще раз:

(cos 2x)' = – 2sin 2x .

      Приведем также верные ответы в похожих примерах:

(sin 3x)' = 3cos 3x ,

,

      Пример 2. Найти производную функции

y = sin³x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = ( f (x)) ^c   в случае, когда   f (x) = sin x ,   а   c = 3,   получим

Ответ:

      Пример 3. Найти производную функции

y = (3x – 7)⁵ .

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)^c   в случае, когда   k = 3,   b = – 7,   а   c = 5,   получим

y' = 15(3x – 7)⁴ .

Ответ:

      Пример 4 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

,

то исходную функцию можно переписать в виде

      Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = ( f (x)) ^c   в случае, когда

,

а   c = 8,   получим

Ответ:

      Пример 5 . Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   k = 3,   b = 0,   получим

Ответ:

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   k = 5,   b = 0, и формулой для производной сложной функции   y = a^kx + b   в случае, когда   a = 3,   k = 2,   b = 0,   получим

Ответ:

      Пример 7 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e ^f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)^c   в случае, когда   с = – 1,   k = 7,   b = – 1,  получим

Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.