Mосква, Северо-восток

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции

приращение аргумента приращение функции производная функции примерыПриращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений
Непрерывность функции примерыНепрерывность функции
приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примеры

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений

      В разделе «Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной» нашего справочника приведено определение производной функции   y = f (x)   в точке   x0   (в том случае, если она существует) как числа, к которому стремится отношение

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(1)

при   x1 → x0 .   Коротко это принято записывать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(2)

      Заметим, что существование производной функции   y = f (x)   и значение производной зависят от выбора точки   x0 . Поэтому производная функции сама является функцией точки   x0 .

      Если в формуле (2) заменить  x0   на   x ,   а разность  x1 – x0   обозначить символом  Δx,   то эта формула примет вид

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
(3)

      Определение 1. Переменную   Δx   называют приращением аргумента,  а разность

f (x + Δx) – f (x)

называют приращением функции   f (x) в точке   x ,   соответствующим приращению аргумента   Δx,   и обозначают  Δf .

      Таким образом,

Δf = f (x + Δx) – f (x)(4)

      Используя определения приращения аргумента и приращения функции, формулу (3) можно переписать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(5)

      В соответствии с этой формулой производную функции    f (x)   в точке   x   называют пределом отношения приращения функции к приращению аргумента в точке   x ,   когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Пример 1. Вывести формулу для производной функции   y = x 2 .

      Решение. Из формулы (3) получаем:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

      Ответ. приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

Непрерывность функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют непрерывной в точке   x0 ,   если выполнено равенство

Непрерывность функции примеры(6)

      Другими словами, функция   (x)   непрерывна в точке   x0   тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Непрерывность функции примеры(7)

      Пример 2. Доказать, что функция   y = x3   непрерывна в любой точке   x ,   где Непрерывность функции примеры.

      Решение. Выберем произвольную точку   x,   где Непрерывность функции примеры, и воспользуемся формулой сокращенного умножения «куб суммы»:

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

      Соотношение (7) выполнено, что и завершает решение примера 2.

      Пример 3. Доказать, что функция

Непрерывность функции примеры(8)

разрывна (не является непрерывной) в точке   x = 0 .

      Решение. Поскольку в точке   x = 0

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

причем

Непрерывность функции примеры

то соотношение (7) в точке   x = 0   не выполняется. Таким образом, функция (8) является разрывной в точке   x = 0 .

      Доказано.

      Для наглядности приведем график функции (8) (рис. 1).

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

Рис.1

      Замечание. Если в точке   x = x0   у функции    f (x)   существует производная, то функция    f (x)   непрерывна в точке  x0 .

      Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если функция    f (x)   непрерывна в точке   x0 ,   то отсюда вовсе не следует, что в этой точке у функции должна существовать производная. Примером является функция    f (x) = |x|   (модуль   x), которая непрерывна в точке   x = 0 ,   но у нее не существует производной в этой точке.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примерыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примерыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников



Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика