Mосква, Северо-восток

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции

приращение аргумента приращение функции производная функции примерыПриращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений
Непрерывность функции примерыНепрерывность функции
приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примеры

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений

      В разделе «Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной» нашего справочника приведено определение производной функции   y = f (x)   в точке   x0   (в том случае, если она существует) как числа, к которому стремится отношение

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(1)

при   x1 → x0 .   Коротко это принято записывать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(2)

      Заметим, что существование производной функции   y = f (x)   и значение производной зависят от выбора точки   x0 . Поэтому производная функции сама является функцией точки   x0 .

      Если в формуле (2) заменить  x0   на   x ,   а разность  x1 – x0   обозначить символом  Δx,   то эта формула примет вид

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(3)

      Определение 1. Переменную   Δx   называют приращением аргумента,  а разность

f (x + Δx) – f (x)

называют приращением функции   f (x) в точке   x ,   соответствующим приращению аргумента   Δx,   и обозначают  Δf .

      Таким образом,

Δf = f (x + Δx) – f (x)(4)

      Используя определения приращения аргумента и приращения функции, формулу (3) можно переписать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры(5)

      В соответствии с этой формулой производную функции    f (x)   в точке   x   называют пределом отношения приращения функции к приращению аргумента в точке   x ,   когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Пример 1. Вывести формулу для производной функции   y = x 2 .

      Решение. Из формулы (3) получаем:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры
приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

      Ответ. приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

Непрерывность функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют непрерывной в точке   x0 ,   если выполнено равенство

Непрерывность функции примеры(6)

      Другими словами, функция   (x)   непрерывна в точке   x0   тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Непрерывность функции примеры(7)

      Пример 2. Доказать, что функция   y = x3   непрерывна в любой точке   x ,   где Непрерывность функции примеры.

      Решение. Выберем произвольную точку   x,   где Непрерывность функции примеры, и воспользуемся формулой сокращенного умножения «куб суммы»:

Непрерывность функции примеры
Непрерывность функции примеры

      Соотношение (7) выполнено, что и завершает решение примера 2.

      Пример 3. Доказать, что функция

Непрерывность функции примеры(8)

разрывна (не является непрерывной) в точке   x = 0 .

      Решение. Поскольку в точке   x = 0

Непрерывность функции примеры

причем

Непрерывность функции примеры

то соотношение (7) в точке   x = 0   не выполняется. Таким образом, функция (8) является разрывной в точке   x = 0 .

      Доказано.

      Для наглядности приведем график функции (8) (рис. 1).

Непрерывность функции примеры

Рис.1

      Замечание. Если в точке   x = x0   у функции    f (x)   существует производная, то функция    f (x)   непрерывна в точке  x0 .

      Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если функция    f (x)   непрерывна в точке   x0 ,   то отсюда вовсе не следует, что в этой точке у функции должна существовать производная. Примером является функция    f (x) = |x|   (модуль   x), которая непрерывна в точке   x = 0 ,   но у нее не существует производной в этой точке.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примерыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примерыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников



Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика