Mосква, Северо-восток

Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач

первообразнаяПервообразная
неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрированиеНеопределенный интеграл
интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интегралеПравила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле
интегрирование таблица интегралов  интеграл от степени интеграл от экспоненты интеграл от показательной функции интеграл от синуса интеграл от косинуса вычисление интеграловТаблица интегралов
интегрирование примеры решения задач вычисление интеграловПримеры решения задач
первообразная неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле таблица интегралов интеграл от степени интеграл от экспоненты интеграл от показательной функции интеграл от синуса интеграл от косинуса примеры решения задач вычисление интегралов

Первообразная

      Определение 1. Функцию   (x) ,   определенную на интервале   (a, b),   называют первообразной функции   (x) ,   определенной на интервале   (a, b),   если для каждого первообразнаявыполнено равенство

F' (x) = f (x) .

      Например, из справедливости равенства

(sin 2x)' = 2 cos 2x

вытекает, что функция   F (x) = sin 2x   является первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Замечание. Функция   F (x) = sin 2x   не является единственной первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x ,   поскольку функция   F (x) = sin 2x + 10 ,   или функция   F (x) = sin 2x – 3 ,   или функции вида   F (x) = sin 2x + c ,   где   c   – любое число, также являются первообразными функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

      Теорема 1. Если функция   (x)   является первообразной функции   (x)   на интервале   (ab) ,   то любая другая первообразная функции   (x)   на интервале   (ab)   имеет вид

F (x) + с ,

где   c   – некоторое число.

Неопределенный интеграл

      Определение 2. Множество всех первообразных функции   (x)   называют неопределенным интегралом от функции   (x)   и обозначают

неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование(1)

      Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции   (x)   по   dx» .

      Если   (x)   является первообразной   (x) ,   то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование
неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование
(2)

      Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование(3)

подразумевая, но не указывая специально, что   c   – любое число.

      В формуле (3) функцию   (x)   называют подынтегральной функцией, выражение   (x) dx   нызывают подынтегральным выражением, а число   c   называют постоянной интегрирования.

      Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

      Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

      Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций

где   k   – любое число.

      Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

      Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

      Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

      Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций

вытекает, что      

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций(4)

если все входящие в формулу (4) функции   (φ (x)),   φ' (x),   F (φ (x))   определены.

      Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций
интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций

      Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

      Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция   φ (x)   является линейной функцией, то есть

φ (x) = kx + b ,

что   k   и   b   – произвольные числа, интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций.

      В этом случае

φ' (x) = k ,

и формула (4) принимает вид

интегрирование правила интегрирования замена переменной в неопределенном интеграле интеграл от суммы функций интеграл от разности функций(5)

      Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

      Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

Основная формулаОбобщения
интегрирование таблица интегралов интеграл от константы

интегрирование таблица интегралов интеграл от константы, где   k – любое число

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

где   n – любое число, не равное   – 1

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,

где   n, k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

где   n – любое число, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,   x > 0

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,
kx + b > 0

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

где   φ (x) > 0

интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты

интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты

интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты

интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции

где   a – любое положительное число, не равное 1

интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции,

где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции

интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции,

где  a – любое положительное число, не равное 1

интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса

интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса

интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса
интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса

интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса

интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов,
производная сложной функции производная тангенса

интегрирование таблица интегралов,

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса,
производная сложной функции производная котангенса

интегрирование таблица интегралов,

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов   | x | < 1

интегрирование таблица интегралов

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов,
| kx + b | < 1

интегрирование таблица интегралов

| φ (x) | < 1

интегрирование таблица интегралов

где   a, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов

интегрирование таблица интегралов

где   a, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от константы

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от константы, где   k – любое число

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

где   n – любое число, не равное   – 1 .

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,

где   n, k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

_____

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

где   n – любое число, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,   x > 0

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от степени,   kx + b > 0

_____

интегрирование таблица интегралов интеграл от степени

где   φ (x) > 0

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты

_____

интегрирование таблица интегралов интеграл от экспоненты

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции,

где   a – любое положительное число, не равное 1 .

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции,

где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции

_____

интегрирование таблица интегралов интеграл от показательной функции,

где  a – любое положительное число, не равное 1

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса

_____

интегрирование таблица интегралов интеграл от синуса

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса

_____

интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов

где   интегрирование таблица интегралов

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов,
производная сложной функции производная тангенса

_____

интегрирование таблица интегралов,

где   интегрирование таблица интегралов

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов

где   интегрирование таблица интегралов

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов интеграл от косинуса, производная сложной функции производная котангенса

_____

интегрирование таблица интегралов,

интегрирование таблица интегралов

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов   | x | < 1

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов, | kx +b | < 1

_____

интегрирование таблица интегралов

где   | φ (x) | < 1

_____

интегрирование таблица интегралов

где   a, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов

Основная формула:

интегрирование таблица интегралов

Обобщения:

интегрирование таблица интегралов,

где   k, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов

_____

интегрирование таблица интегралов

_____

интегрирование таблица интегралов

где   a, b – любые числа, интегрирование таблица интегралов

Примеры решения задач

      Пример 1. Вычислить интеграл

интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от степени

      Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем

интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от степени
интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от степени

Ответ.
интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от степени

      Пример 2. Значение первообразной   (x)   функции   (x) = – 4 sin x   в точке   x = 0   равно   9.   Найти интегрирование примеры вычисления интегралов первообразная.

      Решение. Поскольку Поскольку

интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от синуса

то

F (x) = 4 cos x + c,(6)

      Подставляя в формулу (6) значение   x = 0 ,   находим значение постоянной интегрирования   c:

F (0) = 4 cos 0 + c = 9,

4 + c = 9,     c = 5.

      Следовательно,

F (x) = 4 cos x + 5

      Поэтому

интегрирование примеры вычисления интегралов первообразная

      Ответ7

      Пример 3. Найти первообразную   (x)   функции

интегрирование примеры вычисления интегралов первообразная

если   (2π) = 2e + 3.

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от экспоненты

для функции   φ (x) = cos x ,   получаем

интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от экспоненты

      Следовательно,

интегрирование примеры вычисления интегралов интеграл от экспоненты(7)

      Подставляя в формулу (7) значение   x = 2π,   находим значение постоянной интегрирования   c:

интегрирование примеры вычисления интегралов первообразная

      Итак,

c = 3e +3 .

      Ответинтегрирование примеры вычисления интегралов первообразная

      Пример 4. Вычислить интеграл

интегрирование примеры вычисления интегралов

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

интегрирование примеры вычисления интегралов

для функции   φ (x) = ex,   получаем

интегрирование примеры вычисления интегралов

      Ответинтегрирование примеры вычисления интегралов

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

первообразная неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование правила интегрирования замена переменных в интеграле таблица интегралов  интеграл от степени интеграл от экспоненты интеграл от показательной функции интеграл от синуса интеграл от косинуса примеры решения задач вычисление интеграловподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

первообразная неопределенный интеграл подынтегральная функция подынтегральное выражение постоянная интегрирования интегрирование правила интегрирования замена переменных в интеграле таблица интегралов  интеграл от степени интеграл от экспоненты интеграл от показательной функции интеграл от синуса интеграл от косинуса примеры решения задач вычисление интеграловиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика