Справочник по математике

Элементы математического анализа

Интегралы

Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач

Первообразная

Неопределенный интеграл

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Таблица интегралов

Примеры решения задач

Первообразная

      Определение 1. Функцию   F (x) ,   определенную на интервале   (a, b),   называют первообразной функции   f (x) ,   определенной на интервале   (a, b),   если для каждого выполнено равенство

F' (x) = f (x) .

      Например, из справедливости равенства

(sin 2x)' = 2 cos 2x

вытекает, что функция   F (x) = sin 2x   является первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Замечание. Функция   F (x) = sin 2x   не является единственной первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x ,   поскольку функция   F (x) = sin 2x + 10 ,   или функция   F (x) = sin 2x – 3 ,   или функции вида   F (x) = sin 2x + c ,   где   c   – любое число, также являются первообразными функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

      Теорема 1. Если функция   F (x)   является первообразной функции   f (x)   на интервале   (a, b) ,   то любая другая первообразная функции   f (x)   на интервале   (a, b)   имеет вид

F (x) + с ,

где   c   – некоторое число.

Неопределенный интеграл

      Определение 2. Множество всех первообразных функции   f (x)   называют неопределенным интегралом от функции   f (x)   и обозначают

(1)

      Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции   f (x)   по   dx» .

      Если   F (x)   является первообразной   f (x) ,   то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

(2)

      Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

(3)

подразумевая, но не указывая специально, что   c   – любое число.

      В формуле (3) функцию   f (x)   называют подынтегральной функцией, выражение   f (x) dx   нызывают подынтегральным выражением, а число   c   называют постоянной интегрирования.

      Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

      Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

      Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

где   k   – любое число.

      Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

      Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

      Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

      Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы

вытекает, что      

(4)

если все входящие в формулу (4) функции   f (φ (x)),   φ' (x),   F (φ (x))   определены.

      Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

      Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

      Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция   φ (x)   является линейной функцией, то есть

φ (x) = kx + b ,

что   k   и   b   – произвольные числа, .

      В этом случае

φ' (x) = k ,

и формула (4) принимает вид

(5)

      Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

      Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

Основная формула	Обобщения
	, где   k – любое число
где   n – любое число, не равное   – 1	, где   n, k, b – любые числа, ,
	где   n – любое число,
,   x > 0	, где   k, b – любые числа, , kx + b > 0
	где   φ (x) > 0
	, где   k, b – любые числа,
где   a – любое положительное число, не равное 1	, где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа,
	, где  a – любое положительное число, не равное 1
	, где   k, b – любые числа,
	, где   k, b – любые числа,
	, где   k, b – любые числа, ,
	,
	, где   k, b – любые числа, ,
	,
| x | < 1	где   k, b – любые числа, , | kx + b | < 1
	| φ (x) | < 1
	где   a, b – любые числа,
	, где   k, b – любые числа,
	где   a, b – любые числа,

Примеры решения задач

      Пример 1. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем

Ответ.

      Пример 2. Значение первообразной   F (x)   функции   f (x) = – 4 sin x   в точке   x = 0   равно   9.   Найти .

      Решение. Поскольку Поскольку

то

      Подставляя в формулу (6) значение   x = 0 ,   находим значение постоянной интегрирования   c:

F (0) = 4 cos 0 + c = 9,

4 + c = 9,     c = 5.

      Следовательно,

F (x) = 4 cos x + 5

      Поэтому

      Ответ.  7

      Пример 3. Найти первообразную   F (x)   функции

если   F (2π) = 2e + 3.

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

для функции   φ (x) = cos x ,   получаем

      Следовательно,

(7)

      Подставляя в формулу (7) значение   x = 2π,   находим значение постоянной интегрирования   c:

      Итак,

c = 3e +3 .

      Ответ. 

      Пример 4. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

для функции   φ (x) = e^x,   получаем

      Ответ. 

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.