Mосква, Северо-восток

Золотое отношение (золотое сечение)

золотое отношение золотое сечение золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииЗолотое отношение (золотое сечение)
золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииПравильный пятиугольник и его связь с золотым отношением
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Золотое отношение (золотое сечение)

      Рассмотрим отрезок   AB   и точку   C ,   расположенную внутри него.

Электронный справочник по математике для школьников золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Говорят, что точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении (золотом сечении), если длина отрезка   AB   так относится к длине отрезка   AC ,   как длина отрезка   AC   относится к длине отрезка   CB .   При этом самим золотым отношением (золотым сечением) называют отношение длины отрезка   AB   к длине отрезка   AC .

      Термин «золотое отношение» имеет ряд синонимов: золотое сечение, золотая пропорция, гармоническая пропорция, золотое число, деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

      Следуя исторической традиции, будем золотое отношение обозначать символом   φ .   Для того, чтобы найти значение   φ ,   введем для длин отрезков   AB   и   AC   обозначения:

|AB| = x,       |AC| = y .

      Тогда длина отрезка   CB   будет выражена формулой:

|CB| = x – y ,

причем числа   x   и   y   будут удовлетворять неравенствам:

x > 0,       y > 0,       x – y > 0.

      В случае, когда точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении, числа   x   и   y   удовлетворяют уравнению:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

где

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Выведем уравнение для переменной   φ :

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Поскольку   φ > 1 , то второй корень должен быть отброшен.

      Итак, золотое отношение

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

что и требовалось получить.

Правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением

      Золотое отношение (золотое сечение) встречается в различных областях человеческой деятельности: в скульптуре, архитектуре, живописи, музыке и т.д.

      Приведем пример использования золотого отношения в планиметрии. Для этого рассмотрим правильный пятиугольник   A1A2A3A4A5 ,   вписанный в окружность радиуса   R   с центром   O .

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Заметив, что длины всех диагоналей пятиугольника равны, обозначим длину стороны пятиугольника символом   y ,   а длину диагоналей символом   x .

      Теперь рассмотрим треугольник   A1A3A5 .   Этот треугольник является равнобедренным треугольником с основанием   A1A5   и боковыми сторонами   A1A3   и   A3A5 ,   причем

  A1A5 = y,      
A
1A3 = A3A5 = x .

      Кроме того,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Теперь, воспользовавшись тем, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

применим для треугольника   A1A3A5   теорему косинусов:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

     Разделив это равенство на   y2,   и заметив, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

получим соотношение:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Если в этом соотношении ввести, для упрощения записи, переменную   d   по формуле

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение

то возникает уравнение:

d 3 – 2d 2 + 1 = 0.

      Для того, чтобы решить это уравнение, разложим его левую часть на множители:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      В силу того, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

т.е. является золотым отношением.

      В результате мы получили, что, во-первых, отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне правильного пятиугольника равно золотому отношению, а, во-вторых, что для самого золотого отношения справедлива формула:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношениииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика