![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
a0x4 + a1x3 + a2x2 + + a3x + a4 = 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
x4 + ax3 + bx2 + + cx + d = 0, | (2) |
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
![]() | (3) |
где y – новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
В результате уравнение (2) принимает вид
![]() ![]() ![]() | (4) |
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
y4 + py2 + qy + r = 0, | (5) |
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
2sy2 + s2,
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
![]() ![]() ![]() | (6) |
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
![]() ![]() | (7) |
то уравнение (6) примет вид
![]() ![]() ![]() | (8) |
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, - в виде
![]() ![]() | (9) |
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
![]() ![]() | (10) |
а также квадратное уравнение
![]() ![]() | (11) |
Вывод метода Феррари завершен.
Пример. Решить уравнение
x4 + 4x3 – 4x2 – – 20x – 5 = 0. | (12) |
Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
x = y – 1. | (13) |
Поскольку
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0. | (14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
p = – 10, q = – 4, r = 8. | (15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0. | (16) |
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
s = – 3. | (17) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 – 2y – 4 = 0,
![]() ![]() | (18) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y – 2 = 0,
![]() ![]() | (19) |
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ.
Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
y4 – 10y2 – 4y + 8 = = (y2 – 2y – 4) (y2 + + 2y – 2). | (20) |
Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |