Арифметико-геометрическая прогрессия

Справочник по математике для школьников алгебра определение арифметико-геометрической прогрессииОпределение арифметико-геометрической прогрессии
Справочник по математике для школьников алгебра вывод формулы для общего члена арифметико-геометрической прогрессииВывод формулы для общего члена арифметико-геометрической прогрессии
Арифметико-геометрическая прогрессия вывод формулы для общего члена арифметико-геометрической прогрессии

Определение арифметико-геометрической прогрессии

      Рассмотрим более сложный, чем арифметическая или геометрическая прогрессии, тип последовательности чисел. Эта последовательность носит название арифметико-геометрической прогрессии, поскольку обладает рядом свойств, присущих, как арифметической, так и геометрической прогрессиям.

      ОпределениеАрифметико-геометрической прогрессией называют числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

заданную рекуррентной формулой

xn = q xn – 1 + d ,       n > 1(1)

с начальным условием

x1 = c1 ,(2)

где буквами

q ,   d ,   c1 ,

обозначены заданные числа, удовлетворяющие условиям

Арифметико-геометрическая прогрессия(3)

      Замечание. Условия (3) входят в определение, поскольку при   q = 1   арифметико–геометрическая прогрессия превращается в арифметическую прогрессию, а при   d = 0   арифметико–геометрическая прогрессия превращается в геометрическую прогрессию.

Вывод формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

     Перейдем от последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

к последовательности

y1 ,  y2 , … yn , …

по формулам

xn = yn + t ,(4)

где   t   – некоторое число, которое мы определим чуть позже.

      Поскольку

xn – 1 = yn – 1 + t ,

то формула (1) преобразуется следующим образом:

Арифметико-геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

Следовательно,

yn = q yn – 1 +
+
( q – 1) t + d ,       n > 1 .
(5)

      Если теперь положить

Арифметико-геометрическая прогрессия(6)

то формула (5) принимает вид

yn = q yn – 1 ,       n > 1 ,(7)

откуда вытекает, что последовательность

y1 ,  y2 , … yn , …

является геометрической прогрессией со знаменателем   q.

      Для того, чтобы найти первый член этой геометрической прогрессии, воспользуемся равенствами (2) и (4):

Арифметико-геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

      Итак,

Арифметико-геометрическая прогрессия(8)

      Поскольку

yn = y1q n – 1,

то из формул (7) и (8) получаем формулу для общего члена геометрической прогрессии (7):

Арифметико-геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия
(9)

      Из формулы (9) с помощью равенств (4) и (6) получаем формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии:

Арифметико-геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

      Итак, формула общего члена арифметико-геометрической прогрессии имеет вид:

Арифметико-геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

      Вывод формулы общего члена закончен.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика