Справочник по математике
Алгебра Системы уравнений
Системы с нелинейными уравнениями
Содержание
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
| z = f (x , y) , | (1) |
причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции, а число z – значением функции, соответствующим паре аргументов (x ; y) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
| f (x , y) = 0 , | (2) |
где f (x , y) – любая функция, отличная от функции
f (x , y) = ax +by + c ,
где a , b , c – заданные числа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение
| x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 = 0 . | (3) |
РЕШЕНИЕ. Преобразуем левую часть уравнения (3):
x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 = (x2 – 4xy + 4y2) + (2y2– 12y +18) = (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .
Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде
| (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 . | (4) |
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
ОТВЕТ: (6 ; 3)
ПРИМЕР 2. Решить уравнение
| sin (xy) = 2 . | (5) |
РЕШЕНИЕ. Из неравенства
вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.
ОТВЕТ: Решений нет.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение
| ln (x – y) = 0 . | (6) |
РЕШЕНИЕ. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
(1 + y ; y) ,
где y – любое число.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
ПРИМЕР 4. Решить систему уравнений
 |
(7) |
РЕШЕНИЕ. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
   |
Решая уравнение
x2 – 8x – 9 = 0 ,
x1 = – 1 , x2 = 9 .
Следовательно,
y1 = 8 – x1 = 9 , y2 = 8 – x2 = – 1 .
Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел
и 
ОТВЕТ: (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)
Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
ax2 + bxy + cy2 = 0 .
где a , b , c – заданные числа.
ПРИМЕР 5. Решить уравнение
| 3x2 – 8xy + 5y2 = 0 . | (8) |
РЕШЕНИЕ. Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле
D = (8y)2 – 60y2 = 4y2,
откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):
  |
ОТВЕТ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида
( y ; y) или 
где y – любое число.
СЛЕДСТВИЕ. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
ПРИМЕР 6. Решить систему уравнений
 |
(9) |
РЕШЕНИЕ. Решим однородное уравнение
3x2 + 2xy – y2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
4y2 = 16 ,
корнями которого служат числа y1 = 2 , y2 = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .
В случае, когда
,
из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
которое корней не имеет.
ОТВЕТ: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)
Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное
ПРИМЕР 7. Решить систему уравнений
 |
(10) |
РЕШЕНИЕ. Совершим над системой (10) следующие преобразования:
- второе уравнение системы оставим без изменений;
- к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).
В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:
 |
(11) |
Решим однородное уравнение
3x2 + 17xy + 10y2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
5y2 = – 20 ,
которое корней не имеет.
В случае, когда
,
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y1 = 3 , y2 = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .
ОТВЕТ: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
ПРИМЕР 8. Решить систему уравнений (МФТИ)
 |
(12) |
РЕШЕНИЕ. Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
 |
(13) |
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
 |
(12) |
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
 |
(15) |
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
 |
(16) |
У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:
  |
Решая уравнение
2v2 + 3v – 14 = 0 ,
Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел
Из формул (13) вытекает, что 
, поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u2 = 5, v2 = 2 из формул (15) находим значения x и y :
x = 13, y = – 3 .
ОТВЕТ: (13 ; – 3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.
ПРИМЕР 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными
 |
(17) |
РЕШЕНИЕ. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:
 |
(18) |
Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:
   |
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .
Следовательно,
ОТВЕТ: (4 ; 4 ; – 4)
Близкие по тематике разделы сайта
Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
Со способами решения линейных уравнений и неравенств можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Линейные уравнения и неравенства»