Справочник по математикеАлгебра Системы уравнений

Системы линейных уравнений

Содержание

	Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
	Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
	Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

ПРИМЕР 1. Найти решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

(3)

Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где   x   – любое число.

ЗАМЕЧАНИЕ. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂   – заданные числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. В системе уравнений (4) числа   a₁ ,  b₁ ,  a₂ ,  b₂   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c₁ ,  c₂  – свободными членами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

ПРИМЕР 2 . Решить систему уравнений

(5)

РЕШЕНИЕ. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

(6)

Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

ОТВЕТ.   (–2 ; 3) .

ПРИМЕР 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

(7)

а) имеет единственное решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

РЕШЕНИЕ. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение

Следовательно, система (8) равносильна системе

Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение

Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где   y   – любое число.

Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

где   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  d₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂ ,  d₂ ,  a₃ ,  b₃ ,  c₃ ,  d₃   – заданные числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. В системе уравнений (10) числа   a₁ ,  b₁ ,  c₁ ,  a₂ ,  b₂ ,  c₂ ,  a₃ ,  b₃ ,  c₃   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d₁ ,  d₂ ,  d₃   – свободными членами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

ПРИМЕР 4 . Решить систему уравнений

(11)

РЕШЕНИЕ. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
• из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

• первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
• из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

ОТВЕТ.   (1 ; 2 ; –2) .

ПРИМЕР 5. Решить систему уравнений

(14)

РЕШЕНИЕ. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

(15)

Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

ОТВЕТ:   (3 ; 0 ; –1) .

Близкие по тематике разделы сайта

Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Со способами решения линейных уравнений и неравенств можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Линейные уравнения и неравенства»