Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия)
Вписанные и описанные фигуры
Сфера, вписанная в цилиндр
Содержание
![]() |
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере |
![]() |
Сфера, вписанная в цилиндр |
![]() |
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар |
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).
Рис.1
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).
Рис.2
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.
Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания.
Сфера, вписанная в цилиндр
ОПРЕДЕНИЕ 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).
Рис.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы.
Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.
ЗАМЕЧАНИЕ. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
ЗАДАЧА. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
РЕШЕНИЕ. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле
У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен
Следовательно,
ОТВЕТ.