Справочник по математикеCфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмыГеометрия (Стереометрия)Cфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы Вписанные и описанные фигуры

 

Сфера, вписанная в призму

Содержание

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы Сфера, вписанная в призму. Свойства прямой призмы, описанной около сферы
отношение объемов сферы шара и описанного куба Отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы Свойства правильной призмы, описанной около сферы. Отношение объемов шара и правильной n - угольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар
 

Cфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Сфера, вписанная в призму. Свойства прямой призмы, описанной около сферы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Сферой, вписанной в призму, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней призмы, причем точки касания лежат на гранях призмы (рис. 1).

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы

Рис.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если сфера вписана в призму, то призму называют описанной около сферы.

Таким образом, если призма описана около сферы, то плоскости всех граней призмы являются касательными плоскостями к этой сфере.

Далее мы будем рассматривать только прямые призмы.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если в прямую призму вписана сфера радиуса   R ,   то высота призмы равна   2R ,   а в основания призмы можно вписать окружности радиуса   R .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим прямую призму, описанную около сферы (рис.2).

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы

Рис.2

Обозначим буквой   O   центр вписанной сферы, а символами   O'   и   O"   – точки касания сферы с плоскостями оснований призмы. Заметим, что плоскости оснований призмы параллельны, а радиусы   OO'   и   OO"   проведены в точки касания сферы с плоскостями оснований призмы и, следовательно, перпендикулярны плоскостям оснований призмы. Поэтому прямая   O'O"   перпендикулярна плоскостям оснований призмы, центр вписанной сферы   O   является серединой отрезка   O'O" ,   а высота призмы равна длине отрезка   O'O"   и равна   2R .

Проведем через точку   O   плоскость, перпендикулярную прямой   O'O" ,   и докажем, что все точки касания сферы с боковыми гранями призмы лежат в этой плоскости. Для этого обозначим точку касания сферы с какой-либо гранью призмы буквой   L   и докажем, что прямая   OL   перпендикулярна прямой   O'O"   (рис. 3).

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы

Рис.3

Действительно, радиус   OL,   проведенный в точку касания сферы с боковой гранью призмы перпендикулярен плоскости этой грани, а, значит, перпендикулярен любой прямой, лежащей на этой грани, и, в том числе,   OL   будет перпендикулярен боковому ребру призмы.

Рассматриваемая призма является прямой призмой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований. Прямая   O'O"   также перпендикулярна к плоскостям оснований и, следовательно, параллельна боковым ребрам призмы. Таким образом, мы можем заключить, что прямая   OL   перпендикулярна прямой   O'O"   и, значит, лежит в плоскости, перпендикулярной прямой   O'O"   и проходящей через точку  O .

Сечение призмы и вписанной в нее сферы плоскостью, перпендикулярной прямой   O'O"   и проходящей через точку   O ,   представляет собой многоугольник, равный основаниям призмы, со вписанной в него окружностью радиуса   R   (рис. 3).

Утверждение доказано.

СЛЕДСТВИЕ. В любой куб можно вписать сферу.

Отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

ЗАДАЧА 1. Найти отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

РЕШЕНИЕ. Если сфера радиуса   R   вписана в куб, то ребро куба равно   2R   (рис. 4).

отношение объемов сферы шара и описанного куба

Рис.4

Объем шара, ограниченного данной сферой, вычисляется по формуле

отношение объемов сферы шара и описанного куба

а объем куба с ребром   2R   вычисляется по формуле:

Vкуба = (2R)3 = 8R3 .

Следовательно,

отношение объемов сферы шара и описанного куба (1)

ОТВЕТ.отношение объемов сферы шара и описанного куба

Свойства правильной призмы, описанной около сферы. Отношение объемов шара и правильной n - угольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар

ЗАДАЧА 2. В правильную n - угольную призму с ребром основания   a   вписана сфера. Найти:

  1. Высоту призмы;
  2. Отношение объемов шара, ограниченного вписанной в правильную n - угольную призму сферой, и призмы.

РЕШЕНИЕ.

Радиус окружности, вписанной в правильный n - угольник со стороной   a   можно вычислить по формуле:

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Следовательно, высота призмы равна

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Объем шара вычисляется по формуле

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Площадь основания призмы равна

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Объем призмы находим по формуле:

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Поэтому

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

ОТВЕТ.

  1. свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы
  2. свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

СЛЕДСТВИЕ 1. Отношение объема шара к объему правильной треугольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар, равно

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

СЛЕДСТВИЕ 2. Отношение объема шара к объему правильной четырехугольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар, равно

отношение объемов сферы шара и описанного куба

ЗАМЕЧАНИЕ. Как мы видим, при   n = 4   формула для отношения объемов в ответе (пункт 2) совпадает с формулой (1).

СЛЕДСТВИЕ 3. Отношение объема шара к объему правильной шестиугольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар, равно

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2025 

Rambler's Top100