Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия)
Вписанные и описанные фигуры
Сфера, вписанная в конус
Содержание
![]() |
Сфера, вписанная в конус |
![]() |
Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар |
Сфера, вписанная в конус
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Сферой, вписанной в конус, называют такую сферу, которая касается плоскости основания конуса, а каждая из образующих конуса является касательной к сфере (рис. 1).
Рис.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если сфера вписана в конус, то конус называют описанным около сферы.
УТВЕРЖДЕНИЕ. В любой конус можно вписать сферу.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение конуса). Сечением является равнобедренный треугольник ASB с боковыми сторонами AS и BS и высотой SO , опущенной из вершины S на основание AB (рис.2).
Рис.2
Отрезки AS и BS являются образующими конуса. Центр O' окружности, вписанной в треугольник ASB , лежит на оси конуса SO , а радиус этой окружности будет равен радиусу сферы с центром O' , вписанной в данный конус.
Доказательство утверждения завершено.
Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
ЗАДАЧА. В конус с радиусом основания R и образующей l вписана сфера. Найти отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечением является равнобедренный треугольник ASB , боковые стороны AS и BS которого равны l , а основание AB равно 2R (рис.3).
Рис.3
Для того, чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ASB , воспользуемся следующей формулой
Следовательно, объем шара, ограниченного вписанной сферой, равен
Поэтому
ОТВЕТ.