Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Вписанные и описанные фигуры

Сфера, описанная около цилиндра

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере (рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.

Рис.1

УТВЕРЖДЕНИЕ. Около любого цилиндра можно описать сферу, причем только одну. Центр   O   этой сферы является серединой отрезка   O₁O₂ ,   где   O₁   и   O₂   – центры оснований цилиндра (рис. 2)

Рис.2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим буквами   r   и   h   радиус и высоту цилиндра и рассмотрим любое осевое сечение цилиндра (рис. 3).

Рис.3

Отрезки   A₁A₂   и   B₁B₂ ,   изображенные на рисунке 3, являются образующими цилиндра. Радиус   R   описанной сферы можно найти с помощью теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника   OB₁O₁   по формуле

СЛЕДСТВИЕ 1. Радиус сферы, описанной около цилиндра с радиусом   r   и высотой   h   равен

СЛЕДСТВИЕ 2. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него сферы можно найти по формуле