Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Конусы

Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса

Содержание

	Сечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса
	Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сечением конуса называют пересечение конуса с плоскостью.

Решим следующую задачу.

ЗАДАЧА 1. Дан конус с вершиной в точке   S ,   осью  SO,   радиусом основания   r   и высотой   h .   Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью   α ,   перпендикулярной к оси конуса и пересекающей ось конуса в точке   O₁.   Известно, что длина отрезка   SO₁   равна   h₁   (h₁ < h).

Найти площадь сечения конуса.

РЕШЕНИЕ. Сечением конуса будет круг с центром   O₁,   радиус которого обозначим символом   r₁   (рис. 1).

Рис.1

Выберем какую-нибудь образующую конуса   SA и обозначим символом   A₁ точку пересечения отрезка   SA с плоскостью   α .   Отрезок   SA₁   будет образующей конуса с вершиной в точке   S ,   осью   SO₁ ,   радиусом основания   r₁   и высотой   h₁.   Из подобия прямоугольных треугольников   SOA₁   и   SOA   можно вычислить неизвестный радиус   r₁:

Поэтому площадь круга с центром   O₁   и радиусом   r₁   равна

Решение завершено.

ОТВЕТ:

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

ЗАДАЧА 2. Дан конус с вершиной в точке   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и пересекающей окружность основания конуса в точках   A   и   B.

Найти площадь сечения конуса, если известно, угол между прямой  SO и плоскостью сечения   SAB   равен   φ.

РЕШНИЕ. Обозначим буквой   С   середину отрезка   AB   (рис. 2).

Рис.2

Поскольку   OA   и   OB   – радиусы основания конуса, то треугольник   AOB   – равнобедренный. Следовательно,  OC   – высота треугольника   AOB.

Поскольку   AS   и   BS   – образующие конуса, то треугольник   ASB   – равнобедренный. Следовательно,  SC   – высота треугольника   ASB.

Таким образом, прямая   AB   перпендикулярна двум пересекающимся прямым   OC   и   SC ,   лежащим на плоскости   SOC .   В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   SOC .

Обозначим буквой   D   основание перпендикуляра, опущенного из точки   O   на прямую   SC   (рис. 3).

Рис.3

Поскольку прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   SOC ,   то прямая   AB   перпендикулярна и к прямой   OD .   Таким образом, прямая   OD   перпендикулярна двум пересекающимся прямым   SC   (по построению) и   AB ,   лежащим на плоскости   ASB .   В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая   AB   перпендикулярна к плоскости   ASB .   Следовательно,   SD   – то проекция отрезка   OS   на плоскость   ASB ,   то есть угол   DSO   равен   φ .

Из прямоугольного треугольника   SOC   находим длину гипотенузы   SC   и катета   OC :

Из прямоугольного треугольника   AOC   по теореме Пифагора находим длину отрезка   AC :

Теперь найдем площадь треугольника   ASB :

Решение завершено.

ОТВЕТ.