Справочник по математикеАлгебра Уравнения четвертой степени

Решение уравнений четвертой степени. Метод Феррари

Содержание

	Схема метода Феррари
	Приведение уравнений 4-ой степени
	Разложение на множители. Кубическая резольвента
	Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавляя и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy² + s²,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, - в виде

(9)

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Действительно,

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

ПРИМЕР. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

Поскольку

x⁴ + 4x³ – 4x² – 20x – 5 = (y – 1)⁴ + 4(y – 1)³ – 4(y – 1)² – 20(y – 1) – 5 = y⁴ – 4y³ + 6y² – 4y + 1 + 4y³ – 12y² + 12y – 4 – 4y² + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 = y⁴ – 10y² – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s³ + 10s² – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y² – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y² + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

ОТВЕТ.

ЗАМЕЧАНИЕ. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Близкие по тематике разделы сайта

Со способами решения других типов уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника и наших учебных пособиях:

• решение уравнений с модулями
  • «Простейшее уравнение с модулем»
  • «Уравнения и неравенства с модулями»
• решение линейных уравнений
  • «Линейные уравнения и неравенства»
• решение квадратных уравнений
  • «Квадратные уравнения»
• решение рациональных и иррациональных уравнений
  • «Решение алгебраических уравнений»
• решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
  • «Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: трехчленные уравнения и уравнения, связанные с арифметической прогрессией»
  • «Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: возвратные (симметричные) уравнения»
• решение кубических уравнений
  • «Решение кубических уравнений. Формула Кардано»
• решение показательных уравнений
  • «Решение показательных уравнений»
• решение логарифмических уравнений
  • «Решение логарифмических уравнений»
• решение тригонометрических уравнений
  • «Простейшие тригонометрические уравнения»
  • «Решение тригонометрических уравнений»
  • «Тригонометрия в ЕГЭ по математике»