Справочник по математикеАлгебра Деление многочленов. Корни многочленов

Разложение многочленов на множители. Формулы Виета

Содержание

	Алгебраические уравнения
	Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные множители в комплексной области
	Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами
	Теорема (формулы) Виета

Алгебраические уравнения

Пусть   n   – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен   n   – ой степени от переменной   x

коэффициенты которого

являются любыми комплексными числами.

Заметим, что в этом случае коэффициент   a₀   отличен от нуля, и введем следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгебраическим уравнением степени   n   с неизвестным   x   называют уравнение вида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число   α ,   для которого

P_n (α) = 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Число   α   называют корнем кратности   k   уравнения (3), если справедливо равенство

P_n (α) = (x – α )^k Q (x) ,

где

.

Разложение многочленов на множители в комплексной области

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ (ТЕОРЕМА ГАУССА) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет   n   корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Если

z₁ ,  z₂ , … , z_{k –1} , z_k

– полный набор корней уравнения (3), а

l₁ ,  l₂ , … , l_{k –1} , l_k

– их кратности, то, во-первых,

l₁ +  l₂ + … + l_{k –1} + l_k = n ,

а, во-вторых, справедливо равенство

(4)

ЗАМЕЧАНИЕ. Линейными множителями называют многочлены первой степени

x – z₁ ,  x – z₂ , … , x – z_k ,

входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

Рассмотрим теперь многочлены степени   ,   все коэффициенты которых являются вещественными числами.

Тогда справедливо следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если комплексное число

является корнем кратности  l_s   многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число

является корнем этого многочлена, причем тоже кратности   l_s .

Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень   z_s   и имеющая вид

(5)

входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень     и имеющей вид

(6)

А поскольку

то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:

СЛЕДСТВИЕ. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.

ПРИМЕР. Разложить на множители многочлен четвертой степени

x⁴ + 1 .

РЕШЕНИЕ.

Теорема (формулы) Виета

Снова рассмотрим уравнение   n – ой степени от переменной   x

(7)

и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что

– его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения   n – ой степени:

Формулы Виета для   n = 2   доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.

При   n = 3   уравнение (7) имеет вид

а формулы Виета записываются так:

В случае уравнения 4-ой степени

формулы Виета записываются так: