Справочник по математикеАлгебра Деление многочленов. Корни многочленов

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Алгебраические и трансцендентные числа

Содержание

	Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
	Алгебраические и трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.

ЗАДАЧА. Найти все корни уравнения

2x³ + x² – 5x – 3 = 0,

являющиеся рациональными числами.

РЕШЕНИЕ. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное, то выполняется равенство:

Умножая это равенство на   n³,   получаем равенство:

Теперь преобразуем равенство (1):

2m³ = – m²n + 5mn² + 3n³

2m³ = n (– m² + 5mn + 3n²)

Отсюда вытекает, что число   2m³   нацело делится на число   n.   А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа   m   и   n   не имеют общих простых делителей, то число   n   является делителем числа   2.   Таким образом, число   n   равно   1   или   2.

Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

2m³ + m²n – 5mn² – 3n³ = 0

2m³ + m²n – 5mn² = 3n³

m (2m² + mn – 5n²) = 3n³

Значит, число   3n³   нацело делится на число   m.   А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа   m   и   n   не имеют общих простых делителей, то число   m   является делителем числа   3.   Таким образом, число   m   может быть равно:   – 1,   1,   – 3   или   3.

Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел   m   и   n,   получаем, что дробь

может принимать только следующие значения:

Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень, то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число .

Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число действительно является его корнем:

ОТВЕТ. Число  является единственным рациональным корнем исходного уравнения.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

2x³ + x² – 5x – 3

на двучлен

В результате деления получится квадратный трехчлен

2x² – 2x – 2,

после чего остается лишь решить квадратное уравнение:

x² – x – 1 = 0.

ТЕОРЕМА. Если рациональное число (несократимая дробь)

,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное, является корнем многочлена   k -ой степени

a₀ x^k + a₁ x ^{k –1} + a₂ x ^{k –2} + … + a_{k –1} x + a_k ,

все коэффициенты

a₀ ,  a₁ ,  a₂ , … , a_{k –1} , a_k ,

которого являются целыми числами, то числитель дроби   m   является делителем коэффициента   a_k ,   а знаменатель дроби   n   является делителем коэффициента   a₀ .

Коэффициент   a₀   называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент   a_k   – свободным членом многочлена.

Алгебраические и трансцендентные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Действительное число называют действительным алгебраическим числом, если существует многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого это число является. Если же такой многочлен не существует, то указанное число называют действительным трансцендентным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ. Числа   π   и   e   – наиболее известные примеры действительных трансцендентных чисел.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Каждое рациональное число является алгебраическим числом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби

,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное. Но указанная дробь является корнем уравнения первой степени

nx – m = 0,

что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ. Каждое действительное трансцендентное число является иррациональным числом.