Справочник по математике
Алгебра Линейные функции, уравнения, неравенства
Прямые на координатной плоскости
Содержание
 |
Линейная функция |
|
График линейной функции |
|
Прямые, параллельные оси ординат |
|
Уравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые |
Линейная функция
Линейной функцией называют функцию, заданную формулой
| y = kx + b, | (1) |
где k и b – произвольные (вещественные) числа.
При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия.
Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом.
График линейной функции
При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.
| k > 0 |
|
|
При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.
| k = 0 |
|
|
При k < 0 линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.
| k < 0 |
|
|
Прямые линии
y = kx + b1 и y = kx + b2 ,
имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены 
, параллельны.
Прямые линии
y = k1x + b1 и y = k2x + b2 ,
имеющие разные угловые коэффициенты 
, пересекаются при любых значениях свободных членов.
Прямые линии
y = kx + b1 и 
перпендикулярны при любых значениях свободных членов.
Угловой коэффициент прямой линии
| y = kx | (2) |
равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).
|
|
Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .
При 
прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле
Прямые, параллельные оси ординат
Прямые, параллельные оси Oy, задаются формулой
| x = c , | (3) |
где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;
Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые
Рассмотрим уравнение
| px + qy = r , | (4) |
где p, q, r – произвольные числа.
В случае, когда 
уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию.
Действительно,
что и требовалось.
В случае, когда 
получаем:
откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).
В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид
| 0 = r , | (5) |
и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:
В случае, когда 
уравнение (5) решений вообще не имеет.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. При любом значении r1, не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением
| px + qy = r1 , | (6) |
параллельна прямой, заданной уравнением (4).
ЗАМЕЧАНИЕ 3. При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением
| – qx + py = r2 , | (7) |
перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4).
ПРИМЕР. Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и
- а) параллельной к прямой
4x + 5y = 7 ; (8) - б) перпендикулярной к прямой (8).
РЕШЕНИЕ.
-
a). В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
4x + 5y = r1 , (9) где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство
Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой
4x + 5y = 7,
задаётся уравнением
4x + 5y = – 7 .
-
б). В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
– 5x + 4y = r2 , (10) где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство
Итак, прямая, перпендикулярная к прямой
4x + 5y = 7 ,
задаётся уравнением
– 5x + 4y = – 22 .
Близкие по тематике разделы сайта
Определения координатной (числовой) прямой и координатной плоскости даны в разделе нашего справочника «Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности»
График модуля представлен в разделе «График функции y =| x |» нашего справочника.
Графики парабол представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.
Графики гипербол представлены в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции» нашего справочника.
Графики степенных, логарифмических и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, логарифмических и показательных функций» нашего справочника.
Графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса представлены в разделе «Графики тригонометрических функций» нашего справочника.
Графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса представлены в разделе «Обратные тригонометрические функции» нашего справочника.
Способы получения графиков функций из «базовых» графиков приведены в разделе «Элементарные преобразования графиков функций» нашего справочника.