Справочник по математикеЦилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около нее цилиндраГеометрия (Стереометрия)Цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около нее цилиндра Вписанные и описанные фигуры

 

Призмы, вписанные в цилиндры

Содержание

призмы вписанные в цилиндры свойства призмы вписанной в цилиндр Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около этого параллелепипеда цилиндра
отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра
 

Цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около нее цилиндра

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.1

Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелен и равен боковому ребру призмы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n,   у которой около оснований A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n   можно описать окружности. Пусть около нижнего основания   A1A2 ... An   призмы   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   описана окружность с центром   O   радиуса   r.   Проведем через точку   O   прямую, параллельную боковому ребру   A1A'1   призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в некоторой точке, которую обозначим   O'.

Докажем, что точка   O'  является центром окружности радиуса   r,   описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник   A1A'1O'O   (рис. 2).

Призмы вписанные в цилиндры свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.2

Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку прямые   A1A'1   и   OO'   параллельны по построению, а прямые   A1O   и   A'1O'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью . Следовательно,

A'1O' = A1O = r .

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что

A'1O' = A'2O' = ... = A'nO' = r ,

то есть точка   O'   – центр окружности радиуса   r,   описанной около верхнего основания призмы.

В силу того, что четырехугольник   OO'A1A'1   является параллелограммом, получаем равенство

OO' = A1A'1.

Утверждение 1 доказано.

ТЕОРЕМА. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. Около оснований призмы можно описать окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала, что если около   n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты   h,   около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.

Обозначим буквой   O   центр окружности радиуса   r,   описанной около нижнего основания призмы, а символом   O'   обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.3

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'   параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   OO'   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

Цилиндр с осью   OO',   радиусом   r   и высотой   h   и будет описан около исходной призмы.

Доказательство теоремы завершено.

СЛЕДСТВИЕ 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.

СЛЕДСТВИЕ 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).

Треугольная призма вписанная в цилиндр  цилиндр описанный около треугольной призмы

Рис.4

Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

СЛЕДСТВИЕ 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать цилиндр (рис. 5).

прямоугольный параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.5

Справедливость следствия 3 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если у прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны  a, b, c  и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

прямоугольный параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда
Рис.6
прямоугольный параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда
Рис.7
прямоугольный параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда
Рис.8
 

СЛЕДСТВИЕ 4. Около любой правильной n - угольной призмы можно описать цилиндр (рис. 9).

правильная призма вписанная в цилиндр  цилиндр описанный около правильной призмы

Рис.9

Для доказательства следствия 4 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра

ЗАДАЧА 1. Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами   a, b, c   описан цилиндр так, что высота цилиндра равна   c .   Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Объем прямоугольного параллелепипеда   ABCDA'B'C'D'   (рис.10)

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Рис.10

вычисляется по формуле

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

а объем цилиндра, описанного около этого параллелепипеда, можно найти по формуле

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

где   R – это радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами   a   и   b   (рис 11).

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Рис.11

Поскольку угол   ABC   прямой, то отрезок   AC   является диаметром окружности и равен   2R . По теореме Пифагора находим, что

4R2 = a2 + b2 ,

Следовательно,

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Таким образом

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

ОТВЕТ.отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

ЗАДАЧА 2. Около куба с ребром   a   описан цилиндр. Найти отношение объемов куба и цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Поскольку куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все ребра равны, то, используя результат задачи 1, получаем

отношение объемов куба и описанного около него цилиндра

ОТВЕТ.отношение объемов куба и описанного около него цилиндра

Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра

ЗАДАЧА 3. Около правильной n - угольной призмы описан цилиндр. Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Поскольку и объем призмы, и объем цилиндра вычисляются по формуле

V = Sосн h,

а высота призмы равна высоте описанного около нее цилиндра, то для объемов правильной n - угольной призмы и описанного около нее цилиндра справедливо равенство

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

С помощью формулы для площади правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса   R,   получаем, что

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

Следовательно,

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

ОТВЕТ.отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

СЛЕДСТВИЕ 5. Отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной треугольной призмы и описанного около нее цилиндра

СЛЕДСТВИЕ 6. Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной четырехугольной призмы и описанного около нее цилиндра

СЛЕДСТВИЕ 7. Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной шестиугольной призмы и описанного около нее цилиндра

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2025 

Rambler's Top100