Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Вписанные и описанные фигуры

Пирамида, вписанная в цилиндр

Содержание

	Пирамида, вписанная в цилиндр. Свойства пирамиды, вписанной в цилиндр
	Отношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды

Пирамида, вписанная в цилиндр. Свойства пирамиды, вписанной в цилиндр

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пирамидой, вписанной в цилиндр, называют такую пирамиду, у которой основание вписано в одно из оснований цилиндра, а вершина лежит на другом основании цилиндра (рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если пирамида вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около пирамиды.

Рис.1

ЗАМЕЧАНИЕ. Если пирамида вписана в цилиндр, то высота пирамиды равна высоте цилиндра.

Из определения пирамиды, вписанной в цилиндр, легко вытекает следующее утверждение, доказательство которого мы оставляем читателю.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Около любой правильной пирамиды можно описать цилиндр.

Отношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды

ЗАДАЧА. Найти отношение объемов цилиндра и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды.

РЕШЕНИЕ. Поскольку объем цилиндра вычисляется по формуле

V = S_оснh,

а объем пирамиды вычисляется по формуле

,

и высота цилиндра равна высоте вписанной в него пирамиды, то для объемов цилиндра и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды справедливо равенство

Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   R   описанной около этого многоугольника окружности по формуле

то справедливо равенство

ОТВЕТ.

СЛЕДСТВИЕ 1. Отношение объема правильной треугольной пирамиды к объему цилиндра, описанного около данной пирамиды, равно

СЛЕДСТВИЕ 2. Отношение объема правильного тетраэдра к объему цилиндра, описанного около данного тетраэдра, равно

СЛЕДСТВИЕ 3. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды к объему цилиндра, описанного около данной пирамиды, равно

СЛЕДСТВИЕ 4. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему цилиндра, описанного около данной пирамиды, равно