Справочник по математике
Алгебра Координатная плоскость
Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств
Содержание
 |
Парабола на координатной плоскости |
|
Решение квадратных неравенств |
Парабола на координатной плоскости
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Параболой называют график функции
| y = a x2 , | (1) |
где a – любое число, не равное нулю. Точку О (0;0) называют вершиной параболы (1).
При a > 0 и a < 0 график функции (1) изображён на рисунках 1 и 2 соответственно.
Рис.1
Рис.2
Функция (1) обладает следующими свойствами:
- областью определения функции функции (1) является вся числовая ось;
- функция (1) является четной функцией, поскольку для всех значений аргумента выполнено равенство
y (x) = y (– x) ;
- при a > 0 функция (1) убывает на интервале
и возрастает на интервале 
; при a < 0 функция (1) возрастает на интервале и убывает на интервале ; - при a > 0 у функции (1) существует единственный минимум на всей области определения, который достигается в точке x = 0 ;
- при a < 0 у функции (1) существует единственный максимум на всей области определения, который достигается в точке x = 0 ;
- при a > 0 ветви параболы (1) направлены вверх;
- при a < 0 ветви параболы (1) направлены вниз;
- и при a > 0, и при a < 0 вершиной параболы (1) является начало координат;
- и при a > 0, и при a < 0 осью симметрии параболы (1) является ось ординат.
Рассмотрим теперь функцию, заданную формулой
| y = a x2 + b x + c , | (2) |
где a, b, c – любые числа, но число a не равно нулю.
Поскольку выражение, стоящее в правой части формулы (2), является квадратным трёхчленом, то, в соответствии с материалом, изложенным в разделе «Квадратные уравнения», формулу (2) можно переписать в виде
 |
(3) |
Из формулы (3) вытекает, что график функции (2) может быть получен из графиков, изображенных на рисунках 1 или 2 (в зависимости от знака числа a) при помощи параллельного переноса, в результате которого вершина параболы (1) передвигается из начала координат в точку V (рис. 3, 4) с координатами
 |
(4) |
Рис.3
Рис.4
Поскольку дискриминант квадратного трёхчлена вычисляется по формуле
| D = b2 – 4ac , | (5) |
то координаты вершины параболы</strong (3), определяемые по формуле (4), можно записать так:
 |
(6) |
ЗАМЕЧАНИЕ. При a > 0 ветви параболы (2) направлены вверх, при a < 0 ветви параболы (2) направлены вниз. Парабола (2) пересекает ось ординат в точке с координатами (0; c).
Решение квадратных неравенств
Зная расположение параболы (2) на координатной плоскости, можно, в частности, решать квадратные неравенства
    |
как показано в следующей таблице.
| Знаки чисел a и D: a > 0, D > 0 |
|
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : два различных корня: x1 и x2 Расположение вершины: под осью Ox Пересечения с осью Ox : в точках x1 и x2
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 :
Решение неравенства
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 :
Решение неравенства
|
| Знаки чисел a и D: a > 0, D = 0 |
|
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : два совпавших корня: x1 = x2 Расположение вершины: лежит на оси Ox Пересечения с осью Ox : касается в точке x1
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 :
Решение неравенства
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 :
Решение неравенства x = x1 |
| Знаки чисел a и D: a > 0, D < 0 |
|
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : корней нет Расположение вершины: над осью Ox Пересечения с осью Ox : не пересекает
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 :
Решение неравенства
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 :
Решение неравенства
|
| Знаки чисел a и D: a < 0, D > 0 |
|
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : два различных корня: x1 и x2 Расположение вершины: над осью Ox Пересечения с осью Ox : в точках x1 и x2
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 :
Решение неравенства
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 :
Решение неравенства
|
| Знаки чисел a и D: a < 0, D = 0 |
|
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : два совпавших корня: x1 = x2 Расположение вершины: лежит на оси Ox Пересечения с осью Ox : касается в точке x1
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 :
Решение неравенства x = x1 Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 :
Решение неравенства
|
| Знаки чисел a и D: a < 0, D < 0 |
|
Корни уравнения a x2 + b x + c = 0 : корней нет Расположение вершины: под осью Ox Пересечения с осью Ox : не пересекает
Решение неравенства a x2 + b x + c > 0 :
Решение неравенства
Решение неравенства a x2 + b x + c < 0 :
Решение неравенства
|
:
:
Близкие по тематике разделы сайта
Определения координатной (числовой) прямой и координатной плоскости даны в разделе нашего справочника «Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности»
С понятием квадратного трехчлена, решением квадратных уравнений, разложением квадратного трехчлена на множители можно также ознакомиться в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.
Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».
Графики прямых на координатной плоскости представлены в разделе «Прямые на координатной плоскости» нашего справочника.
График модуля представлен в разделе «График функции y =| x |» нашего справочника.
Графики гипербол представлены в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции» нашего справочника.
Графики степенных, логарифмических и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, логарифмических и показательных функций» нашего справочника.
Графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса представлены в разделе «Графики тригонометрических функций» нашего справочника.
Графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса представлены в разделе «Обратные тригонометрические функции» нашего справочника.
Способы получения графиков функций из «базовых» графиков приведены в разделе «Элементарные преобразования графиков функций» нашего справочника.