Справочник по математикеАлгебра Многочлены

Одночлены и многочлены

Содержание

	Одночлены и многочлены от одной переменной
	Одночлены и многочлены от нескольких переменных

Одночлены и многочлены от одной переменной

Одночленом (мономом) от переменной   x   называют целую неотрицательную степень переменной   x ,  умноженную на число.

Показатель степени, в которую возведена переменная   x,   называют степенью одночлена, а числовой множитель – коэффициентом одночлена.

Если в одночлене степень переменной   x   не умножена ни на какое число, то считается, что коэффициент одночлена равен   1.

Степень одночлена, являющегося числом, равняется нулю.

ПРИМЕРЫ одночленов от переменной   x:

Алгебраической суммой одночленов от переменной   x   называют один или несколько одночленов, соединенных между собой знаками сложения и вычитания. Аналогично определяется алгебраическая сумма чисел.

Алгебраическую сумму одночленов от переменной   x   также называют многочленом или полиномом от переменной   x.   Например, многочленом является выражение

2x² – 45x + 28x⁵ .

Степенью многочлена называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, многочлен

ax + b ,

где буквами   a   и   b   обозначены произвольные числа, причем число   a    отлично от нуля, является многочленом первой степени.

Многочлен

ax² + bx + c ,

где буквами   a,   b   и   c   обозначены произвольные числа, причем число   a   отлично от нуля, является многочленом второй степени и называется квадратным трехчленом.

Двучленом называется многочлен, состоящий из двух одночленов, трехчленом называется многочлен, состоящий из трех одночленов.

Многочлен всегда можно расположить по возрастанию или по убыванию степеней входящих в него одночленов:

3 + 24x – 2x² – x⁵ ;         – x⁵ – 2x² + 24x + 3 .

Число α называется корнем многочлена   p(x),   если

p(α) = 0.

Например, квадратный трехчлен

x² – 3x + 2

имеет два корня   x = 1   и   x = 2 .

Одночлены и многочлены от нескольких переменных

Одночленом (мономом) от переменных   x₁ ,  x₂ , … , x_n   называют выражение вида:

где   c   – произвольное число, называемое коэффициентом одночлена, а символами

i₁ ,  i₂ , … i_n

обозначены целые неотрицательные числа.

Таким образом, одночлен от нескольких переменных является произведением числа на несколько букв, каждая из которых входит в одночлен в целой неотрицательной степени.

Степенью одночлена называют сумму степеней всех входящих в него букв, т.е. сумму целых неотрицательных чисел:

i₁ +  i₂ + … + i_n .

Число   c   называют коэффициентом одночлена.

ПРИМЕР. Степень одночлена

равна   3,   а коэффициент равен   – 0,83 .

Два одночлена равны, если, во-первых, у них равны коэффициенты, а во-вторых, одночлены состоят из одних и тех же букв, которые входят в них с соответственно равными показателями степеней.

Алгебраическая сумма одночленов от нескольких переменных носит название многочлена или полинома от нескольких переменных. Например,

Степенью многочлена от нескольких переменных называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, степень многочлена

равна   8.

Многочлен от нескольких переменных называют однородным многочленом, если степени всех входящих в него одночленов равны. В этом случае степень многочлена равна степени каждого входящего в него одночлена.

Например, многочлен

является однородным многочленом степени   3.