Справочник по математикеАлгебра Квадратный трехчлен и квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Содержание

	Решение неполных квадратных уравнений
	Выделение полного квадрата
	Дискриминант
	Разложение квадратного трехчлена на множители
	Формула для корней квадратного уравнения
	Прямая и обратная теоремы Виета

Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

РЕШЕНИЕ.

ОТВЕТ: 0 .

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

РЕШЕНИЕ.

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 4. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

ОТВЕТ: .

Выделение полного квадрата

Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Формула (6) получена.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

УТВЕРЖДЕНИЕ. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

(12)

(13)

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

ЗАМЕЧАНИЕ 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

ЗАМЕЧАНИЕ 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ЗАМЕЧАНИЕ 4. В случае, когда   D = 0, корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c = a (x – x₁) (x – x₂) = a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] = ax² – a (x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

Словами прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x₁ и   x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x₁ и   x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

Близкие по тематике разделы сайта

Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

Со способами решения других типов уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника и наших учебных пособиях:

• решение уравнений с модулями
  • «Простейшее уравнение с модулем»
  • «Уравнения и неравенства с модулями»
• решение линейных уравнений
  • «Линейные уравнения и неравенства»
• решение рациональных и иррациональных уравнений
  • «Решение алгебраических уравнений»
• решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
  • «Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: трехчленные уравнения и уравнения, связанные с арифметической прогрессией»
  • «Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: возвратные (симметричные) уравнения»
• решение кубических уравнений
  • «Решение кубических уравнений. Формула Кардано»
• решение уравнений четвертой степени
  • «Решение уравнений четвертой степени. Метод Феррари»
• решение показательных уравнений
  • «Решение показательных уравнений»
• решение логарифмических уравнений
  • «Решение логарифмических уравнений»
• решение тригонометрических уравнений
  • «Простейшие тригонометрические уравнения»
  • «Решение тригонометрических уравнений»
  • «Тригонометрия в ЕГЭ по математике»