Справочник по математикеАлгебра Деление многочленов. Корни многочленов

Кратные корни многочленов

Пусть   p(x)   – многочлен степени   n,   а   q(x)   – многочлен степени   n – k,   где   n   и   k   – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству   .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число   α   называют корнем кратности   k   многочлена   p(x),   если справедливо равенство

где

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Число   α   является корнем кратности   k   многочлена   p(x)   тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности   k – 1 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем

Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при   x = α   не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.

Из утверждения 1 вытекает следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Число   α   является корнем кратности   k   многочлена   p(x)   тогда и тогда, когда выполнены равенства:

ЗАДАЧА. Найти все значения параметра   m ,   при которых многочлен

p(x) = x⁴ – 4m³x + 48

имеет корень кратности   2 .

РЕШЕНИЕ. Воспользовавшись утверждением 2, получаем

ОТВЕТ.     m = ± 2 .