Конус, вписанный в призму

	Конус, вписанный в призму
	Отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной призмы

Конус вписанный в призму призма описанная около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Конусом, вписанным в призму, называют такой конус, у которого основание вписано в одно из оснований призмы, а вершина лежит на другом основании призмы (рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если конус вписан в призму, то призму называют описанной около конуса.

Конус вписанный в призму призма описанная около конуса

Рис.1

ЗАМЕЧАНИЕ. Высота конуса равна высоте призмы, описанной около него.

УТВЕРЖДЕНИЕ. В любую правильную призму можно вписать конус.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению у правильной призмы основаниями являются правильные многоугольники, а боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований. Поскольку в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, а отрезок, соединяющий центры окружностей, вписанных в основания призмы, параллелен боковому ребру призмы (в данном случае перпендикулярен основаниям), то можно построить конус, у которого основание вписано в одно из оснований правильной призмы, а вершина совпадает с центром другого основания правильной призмы. Этот конус и будет вписан в правильную призму (рис. 2).

Конус вписанный в призму призма описанная около конуса

Рис.2

Доказательство завершено.

ЗАДАЧА. Найти отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной призмы.

РЕШЕНИЕ. Поскольку объем конуса вычисляется по формуле

отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмы

а объем призмы вычисляется по формуле

V_призмы = S_{осн. призмы} h,

отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмы

Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус r вписанной в этот многоугольник окружности по формуле

отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмы

то справедливо равенство

отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмы

ОТВЕТ. отношение объемов конуса и описанной около него правильной призмы

СЛЕДСТВИЕ 1. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной треугольной призмы равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной треугольной призмы

СЛЕДСТВИЕ 2. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной четырехугольной призмы

СЛЕДСТВИЕ 3. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной шестиугольной призмы