Свойства тригонометрических функций

Содержание

Справочник по математике для школьников тригонометрия знаки тригонометрических функцийЗнаки тригонометрических функций
Справочник по математике для школьников тригонометрия периодичность тригонометрических функцийПериодичность тригонометрических функций
Справочник по математике для школьников тригонометрия четность тригонометрических функцийЧетность тригонометрических функций
Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.1. Знак sin αРис.2. Знак cos α
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.3. Знак tg αРис.4. Знак ctg α
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.1. Знак sin α
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.2. Знак cos α
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.3. Знак tg α
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Рис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

Рассмотрим рисунок 5.

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.5

Если луч OM1, изображенный на рисунке 5, повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 360°) = sin α°,   cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°,   cos (α° – 360°) = cos α°,

а также формулы:

sin (α + 2π) = sin α ,   cos (α + 2π) = cos α ,

sin (α – 2π) = sin α,   cos (α – 2π) = cos α .

      Поворачивая луч  OM1 на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы   360° n, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа   2nπ, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол 360°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число  .

Теперь рассмотрим рисунок 6.

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.6

Если луч OM1, изображенный на рисунке 6, повернуть по ходу или против хода часов на развернутый угол (180 градусов или π радиан), то он совместится с лучом OM2 . Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 180°) = – sin α°,   cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°,   cos (α° – 180°) = – cos α°,

а также формулы:

sin (α + π) = – sin α ,   cos (α + π) = – cos α ,

sin (α – π) = – sin α,   cos (α – π) = – cos α.

Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, полупериодом синуса и косинуса является число π.

СЛЕДСТВИЕ. Поскольку

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

то справедливы формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы 180° n, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа   nπ, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол 180°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число π.

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.7

На этом рисунке

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса
Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,

откуда вытекают формулы:

tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .

Таким образом, косинусчетная функция, а синус, тангенс и котангенснечетные функции.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.