Справочник по математике
Алгебра Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения
Содержание
 |
Степень суммы |
|
Степень разности |
|
Квадрат многочлена |
|
Куб трехчлена |
|
Сумма нечетных степеней |
|
Разность нечетных степеней |
|
Разность четных степеней |
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
ТАБЛИЦА 1 – СТЕПЕНЬ СУММЫ
| Квадрат (вторая степень) суммы |
|
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы |
|
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы |
|
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы |
|
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы |
|
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
|
… |
Общая формула для вычисления суммы
(x + y)n
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
ТАБЛИЦА 2 – СТЕПЕНЬ РАЗНОСТИ
| Квадрат (вторая степень) разности |
|
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности |
|
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности |
|
(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности |
|
(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности |
|
(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
|
… |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
| Квадрат многочлена |
   |
Словами эту формулу можно выразить так: - «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
| Куб трехчлена |
|
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 6xyz . |
Сумма нечетных степеней
Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.
ТАБЛИЦА 3 – СУММА НЕЧЕТНЫХ СТЕПЕНЕЙ
| Сумма кубов |
|
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) |
| Сумма пятых степеней |
|
x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) |
| Сумма седьмых степеней |
|
x7 + y7 = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6) |
|
... |
| Сумма степеней порядка 2n + 1 |
|
x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n – x2n – 1y + x2n – 2 y2 – ...– xy2n – 1 + y2n) |
Разность нечетных степеней
Если в формулах из Таблицы 3 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):
ТАБЛИЦА 4 – РАЗНОСТЬ НЕЧЕТНЫХ СТЕПЕНЕЙ
| Разность кубов |
|
x3– y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) |
| Разность пятых степеней |
|
x5– y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) |
| Разность седьмых степеней |
|
x7– y7 = (x – y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6) |
|
... |
| Разность степеней порядка 2n + 1 |
|
x2n + 1– y2n + 1 = (x – y) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + ...+ xy2n – 1 + y2n) |
Разность четных степеней
Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.
ТАБЛИЦА 5 – РАЗНОСТЬ ЧЕТНЫХ СТЕПЕНЕЙ
| Разность квадратов |
|
x2– y2 = (x + y) (x – y) |
| Разность четвертых степеней |
|
x4– y4 = (x + y) (x3 – x2y + xy2 –y3) = (x + y) (x – y) (x2 + y2) |
| Разность шестых степеней |
|
x6– y6 = (x + y) (x5 – x4y + x3y2 – x2y3 + xy4 –y5) = (x + y) (x – y) (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2) |
| Разность восьмых степеней |
|
x8– y8 = (x + y) (x7 – x6y + x5y2 – x4y3 + x3y4 – x2y5 + xy6 –y7) = (x + y) (x – y) (x2 + y2) (x4 + y4) |
|
... |
| Разность степеней порядка 2n |
|
x2n– y2n = (x + y) (x2n – 1 – x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – ...+ xy2n – 2 – y2n – 1) |
|
x2n– y2n = (x – y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + ...+ xy2n – 2 + y2n – 1) |
ЗАМЕЧАНИЕ. Оба разложения на множители двучлена:
x2n– y2n ,
приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.