Теорема Менелая 1. Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C1 и A1, а точка B1 взята на продолжении стороны AC за точку C (рис.1), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство
![]() | (1) |
Рис.1
Доказательство необходимости. Докажем, что если точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой, то выполнено равенство (1). Для этого проведём через точку C прямую, параллельную прямой AB, и обозначим буквой D её точку пересечения с прямой C1B1 (рис.2).
Рис.2
Поскольку треугольник AC1B1 подобен треугольнику CDB1, то выполнено равенство
![]() | (2) |
Поскольку треугольник C1BA1 подобен треугольнику A1DC, то выполнено равенство
![]() | (3) |
Перемножая равенства (2) и (3), получим
Доказательство необходимости завершено.
Доказательство достаточности. Докажем, что если выполнено равенство (1), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой. Воспользуемся методом «от противного». С этой целью проведём прямую через точки C1 и A1 и обозначим символом B2 точку пересечения этой прямой с прямой AC (рис. 3).
Рис.3
Поскольку точки C1, A1 и B2 лежат на одной прямой, то выполнено равенство
![]() | (4) |
Кроме того, выполнено равенство
![]() | (1) |
Разделив равенство (4) на равенство (1), получим равенство
следствием которого является равенство
![]() | (5) |
Воспользовавшись свойствами производных пропорций, из равенства (5) получаем, что точки B1 и B2 совпадают.
Доказательство достаточности завершено.
Теорема Менелая 1 доказана.
Замечание. Если чуть-чуть изменить формулировку теоремы Менелая 1, выбрав точку B1 на продолжении стороны AC за точку A (рис.4), то доказательство теоремы Менелая практически не изменится, и мы предоставляем его читателю в качестве упражнения.
Рис.4
Теорема Менелая 2. Если на продолжениях сторон AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1 (рис.5), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство
![]() | (6) |
Рис.5
Замечание. Доказательство теоремы Менелая 2 почти дословно повторяет доказательство теоремы Менелая 1, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.
Для того, чтобы показать, как можно применять теорему Менелая, решим следующую задачу.
Задача. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причем
Отрезки AE и CD пересекаются в точке F (рис.6). В каком отношении отрезки AE и CD делятся точкой F?
Рис.6
Решение. Применив к треугольнику BCD теорему Менелая (рис. 7),
Рис.7
получим
Применив к треугольнику ABE теорему Менелая (рис. 8),
Рис.8
получим
Ответ:
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |