Справочник по математикеАлгебра Деление многочленов. Корни многочленов

Деление многочленов на многочлены второй степени. Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов используется при решении многих задач в различных разделах математики. Рассмотрим, как применяется этот метод, в задачах, связанных с делением многочленов на многочлены второй степени.

ЗАДАЧА 1. Найти остаток от деления многочлена

3x⁹ – 8x³+ 4

на квадратный трехчлен

x² – 3x + 2 .

РЕШЕНИЕ. Конечно же, задачу 1 можно было бы решить, разделив «уголком» делимое на делитель, но мы приведем гораздо более короткое и красивое решение, основанное на методе неопределенных коэффициентов. Для этого сначала найдем корни делителя:

Таким образом, корнями делителя являются числа   1   и   2 .   Поэтому разложение делителя на линейные множители имеет вид:

x² – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2) .

Поскольку степень делителя равна   2 ,   то остаток от деления будет многочленом, степень которого не выше первой, и справедливо следующее тождество, верное для всех значений переменной   x :

3x⁹ – 8x³+ 4 = (x – 1) (x – 2) q(x) + ax + b .

В этом тождестве   q(x)   обозначает частное от деления – многочлен 7-ой степени, а выражение

ax + b ,

где   a   и   b   – числа, обозначает остаток от деления – многочлен, степень которого равна 0, если число   a   равно нулю, и равна   1 ,   если число   a   отлично от нуля.

Числа   a   и   b   и называют неопределенными коэффициентами.

Если теперь в тождество подставить значения   x = 1   и   x = 2 ,   то мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения неопределенных коэффициентов   a   и   b :

Отсюда вытекает, что искомый остаток от деления является многочленом первой степени и имеет вид:

1477x – 1478 .

ОТВЕТ:  1477x – 1478 .

ЗАДАЧА 2. Найти остаток от деления многочлена

3x⁴ – 2x³+ 4x² – x – 5

на квадратный трехчлен

(x – 3)² .

РЕШЕНИЕ. Действуя по аналогии с решением задачи 1, рассмотрим тождество

3x⁴ – 2x³+ 4x² – x – 5 =(x – 3)²q(x) + ax + b ,

где   a   и   b   – неопределенные коэффициенты. Если от обеих частей этого тождества взять производную, то мы также получим тождество, которое имеет следующий вид:

Если теперь в оба тождества подставить значение   x = 3 ,   то мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения неопределенных коэффициентов   a   и   b :

ОТВЕТ:    293x – 662 .