Справочник по математике
Алгебра Многочлены
Действия над многочленами
Содержание
 |
Приведение подобных членов |
|
Умножение многочлена на число |
|
Умножение одночлена на одночлен |
|
Сложение и вычитание многочленов |
|
Умножение многочлена на многочлен |
Приведение подобных членов
Два одночлена называются подобными, если они или равны, или отличаются лишь коэффициентами.
Одночлены, входящие в состав многочлена, часто называют членами многочлена.
Если в многочлен входят подобные одночлены, то желательно совершить операцию приведения подобных членов.
В результате выполнения операции приведения подобных членов подобные одночлены заменяются одним одночленом, коэффициент которого равен алгебраической сумме коэффициентов подобных одночленов.
Покажем, как выполняется операция приведения подобных членов на примере.
ПРИМЕР 1. Привести подобные члены в многочлене
РЕШЕНИЕ. Преобразуем, если этого не сделано, каждый одночлен, входящий в многочлен, в равный ему одночлен так, чтобы в нём сначала стояла степень буквы x1 , затем степень буквы x2 , затем степень буквы x3 и т.д.:
Отметим в полученном многочлене подобные члены одного вида одной чертой сверху, другого вида – двумя чертами сверху, третьего вида – изогнутой линией сверху и т.д.:
Сгруппируем подобные члены каждого вида и совершим их приведение:
ЗАМЕЧАНИЕ. Решение примера 1 в учебных целях изложено с подробным и последовательным разбиением на этапы. Конечно же, при наличии опыта (который мы очень рекомендуем приобрести, решая задачи и примеры) приведение подобных членов осуществляется значительно короче и быстрее.
Умножение многочлена на число
При умножении многочлена на число каждый член этого многочлена умножается на это число.
ПРИМЕР 2. Выполнить действие
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) .
РЕШЕНИЕ. Поскольку
x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 = x3 + (– 3x2y) + 3xy2 + (– y3) ,
то
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) = ( –1)[ x3 + (– 3x2y) + 3xy2 + (– y3)] =
= ( –1) x3 + ( –1)(– 3x2y) + ( –1) 3xy2 + ( –1)(– y3) = – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 .
ЗАМЕЧАНИЕ. Действие в примере 2 называется раскрытием скобки и, конечно же, при наличии даже небольшого опыта выполняется мгновенно.
Умножение одночлена на одночлен
ПРИМЕР 3. Выполнить действие
РЕШЕНИЕ. Напомним, что при умножении степеней с одним основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей сомножителей. Поэтому при выполнении требуемого в примере действия мы получим следующее:
Сложение и вычитание многочленов
Операции сложения и вычитания многочленов близко связаны с операцией приведения подобных членов.
ПРИМЕР 4. Выполнить действия
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) – (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) + 5x2y .
РЕШЕНИЕ. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) – (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) + 5x2y =
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 – x3 – 3x2y – 3xy2 + y3 + 5x2y = – x2y .
Умножение многочлена на многочлен
При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а полученные результаты суммируются.
ЗАМЕЧАНИЕ. При умножении двух многочленов, отличных от нуля, получается многочлен, степень которого равна сумме степеней многочленов-сомножителей.
ПРИМЕР 5. Выполнить действия
(4x3 – 5xy2)(2x2 – x2y + 3xy4)
РЕШЕНИЕ.
(4x3 – 5xy2)(2x2 – x2y + 3xy4) =
= 4x3(2x2 – x2y + 3xy4) + (– 5xy2)(2x2 – x2y + 3xy4) =
= (8x5 – 4x5y + 12 x4y4) + (– 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6) =
= 8x5 – 4x5y + 12 x4y4 – 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6 .