e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостиЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостиТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостиГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости Геометрия (Стереометрия)

Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскости Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскости Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости

ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

      Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.

      Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

      С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  произвольную точку  B  (рис. 1).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.1

      Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

  AP = AP',       BP = BP' 

      Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник  PBС  равен треугольнику  P'BС  (BP = BP'Признак перпендикулярности прямой и плоскости, сторона    - общая). Следовательно,

СP = СP',

откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.

      Таким образом, прямые  PO  и  c  перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

      Теперь перейдем к общему случаю.

      Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  и   b, лежащим на плоскости  α .  Докажем, что в этом случае прямая  p  перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей плоскости  α  (рис. 2).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.2

      С этой целью проведем через точку O прямые  a'b'  и  c'  соответственно параллельные прямым   ab  и  c .

      По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым  a'   и  b' , проходящим через точку  O,  и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

      Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

      Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

      Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P  на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

      Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

Рисунок

Свойство

свойства перпендикуляра к плоскости

Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость.

Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки  P на плоскость  α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости  α.

свойства перпендикуляра к плоскости

Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны

свойства перпендикуляра к плоскости

Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

свойства перпендикуляра к плоскости

Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

свойства перпендикуляра к плоскости

Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

свойства перпендикуляра к плоскости

Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскости индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования