Mосква, Северо-восток

Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскостиПрямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскостиСвойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

      Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.

      Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

      С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  произвольную точку  B  (рис. 1).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.1

      Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

      Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник  PBС  равен треугольнику  P'BС  (BP = BP'Признак перпендикулярности прямой и плоскости, сторона    - общая). Следовательно,

СP = СP',

откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.

      Таким образом, прямые  PO  и  c  перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

      Теперь перейдем к общему случаю.

      Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  и   b, лежащим на плоскости  α .  Докажем, что в этом случае прямая  p  перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей плоскости  α  (рис. 2).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.2

      С этой целью проведем через точку O прямые  a'b'  и  c'  соответственно параллельные прямым параллельные прямым   ab  и  c .

      По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым  a'   и  b' , проходящим через точку  O,  и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

      Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

      Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

      Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P  на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

      Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

РисунокСвойство
свойства перпендикуляра к плоскостиИз любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки  P на плоскость  α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости  α.
свойства перпендикуляра к плоскостиДва любых перпендикуляра к плоскости параллельны
свойства перпендикуляра к плоскостиПлоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
свойства перпендикуляра к плоскостиЕсли одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
свойства перпендикуляра к плоскостиЕсли плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.
свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки  P на плоскость  α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости  α.

свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны

свойства плоскостей перпендикулярных к прямой
свойства плоскостей перпендикулярных к прямой

Свойство:
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостиподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости расстояние от точки до плоскостииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования